Word lid!
23 oktober 2025
- Rob van Oord

Wiskunde bij de les – 33 – De parabool (5)

Een parabool met bewegingsvergelijkingen

Afgelopen jaar schreef Martin Kindt een aantal artikelen over De parabool op school. Hij probeerde aan te geven dat je vooral ook de parabool vanuit meetkundig oogpunt onder de loep moet nemen. Immers, plaatjes zeggen meer dan formules.

Naast formules van parabolen zoals \(y = ax^2 + bx + c\), \(y = a(x – p)^2 + q\) en \(y^2 = 2px\) kun je ook bewegingsvergelijkingen gebruiken van een kogel, druppel water of een vliegend voorwerp.
We zeggen dan dat we de parametervergelijkingen van een parabool gebruiken. In deze blog gaat het hierover.

Op de Olympische spelen van 2025 in Parijs werd op het onderdeel speerwerpen een nieuw Olympisch record gevestigd. Arshad Nardeem behaalde daarmee voor het eerst sinds 40 jaar een gouden medaille binnen voor Pakistan. Maar wat mij opviel is dat er bij elke worp op het tv-scherm de hoek te zien was waaronder de speer werd gelanceerd. Die hoek ligt meestal tussen de \(32⁰\) en de \(38⁰\). Dit verwonderde mij, want volgens wiskundige berekeningen ligt het verste punt van de parabool bij een baan die onder een hoek van \(45⁰\) wordt geworpen/geschoten. Zie Appendix.
Er zijn ook enkele examenopgaven te vinden die over parabolen gaan van bewegende projectielen.
2022-1 Vulkaan opg. 12,13,14 bijvoorbeeld, en 2014-1 De ideale stoothoek opg. 7,8,9.

Wanneer een voorwerp wordt afgeschoten onder een hoek \(\alpha\) met een werpsnelheid van \(v\) m/s dan zijn de bewegingsvergelijkingen in een assenstelsel : \(x = v \cdot cos(\alpha) \cdot t\) en \(y = h + v \cdot sin(\alpha) \cdot t – 4,91 t^2\) met \(g = 9,82\) m/sec2.
Hierbij is de werpsnelheid \(v\) gesplitst in een horizontale component \(v \cdot cos(\alpha) \) en een verticale component \(v \cdot sin(\alpha)\) . De zwaartekracht geeft een tweede, verticale neerwaartse component \(-\frac{1}{2}gt^2\), afhankelijk van gravitatie \(g\). Hierin is \(h\) de hoogte in meters waarop het voorwerp wordt losgelaten. Laten we eens narekenen wat er gebeurt als je met een speer werpt met een startsnelheid van \(30\) m/s van hoogte \(1,80\) m. Hoeveel zou het schelen tussen een werp onder een hoek van \(30°\) en een werp onder een hoek van \(45°\)? Bedenk dat \(sin(30°) = \frac{1}{2}\) en \(cos(30°) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\) en dat \(sin(45°) = cos(45°) = \frac{1}{2}\sqrt{2}\) .  De bewegingsvergelijkingen worden in dit geval:
\(x = 30 \cdot cos(30°) \cdot t\) en \(y = 1,8 + 30 \cdot sin(30°) \cdot t – 4,91 t^2\) dan wel \(x = 30 \cdot cos(45°) \cdot t\) en \(y = 1,8 + 30\cdot sin(45°) \cdot t – 4,91 t^2\) .
We berekenen eerst de waarde van \(t\) waarop de speer op de grond komt. Dat doen we door \(y=0\) op te lossen.
Bij \(30°\): \(1,8 + 30 \cdot \frac{1}{2} t – 4,91 t^2 = 0\) geeft \(t = \frac{-15-\sqrt{225+4\cdot 1,8 \cdot 4,91}}{-9,82} \approx 3,175 \). Hiermee komt de speer \(x = 30 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 3,175 \approx 82,375\) m ver.
Bij \(45°\) : \(1,8 + 30 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} t – 4,91 t^2 = 0\) geeft \(t = \frac{-15 \sqrt{2} – \sqrt{450+4 \cdot 1,8 \cdot 4,91}}{-9,82} \approx 4,4036\). Hiermee komt de speer \(x = 30 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot 4,4036 \approx 93,416\) m ver. Een verschil van zo’n \(11\) m.
Op het scherm stond dat de hoek waaronder Arshad zijn speer wierp \(31,76°\) was. Zijn afstand was \(92,97\) m. Ik ga uit van \(h = 1,80\) m.
We kunnen nu berekenen met welke snelheid hij de speer wegwierp.
Er zijn dus een \(v\) en \(t\) waar voor de vergelijkingen gelden \(x=92,97 = cos(31,76°) \cdot v \cdot t\) en uit \(y=0\) dat \(t =\frac{-sin⁡(31,76°) \cdot v-\sqrt{(sin⁡(31,76°)^2 \cdot v^2+4 \cdot 4,91 \cdot 1,8}}/{-9,81} \). dus dat \(t=\frac{v}{9,82}(0,52363+\sqrt{0,52363^2+\frac{35,352}{v^2 }})\). De formule voor \(t\) invullen in de vergelijking voor \(x\) geeft \(92,97 =\frac{0,85026}{9,82}v^2 \cdot (0,52363+\sqrt{0,52363^2 + \frac{35,352}{v^2}} )\). Met de grafische rekenmachine krijg je dan \(v = 31,45\) m/s.

In de figuur zie je de (mogelijke) baan van de speer die Arshad wierp.

Tot zover de berekeningen onder de hoek van \(31,76°\). Hoe ver zou Arshad gegooid hebben als hij met die snelheid van \(v = 31,45\) m/s onder een hoek van \(45⁰\) gegooid had?
\(1,8 + 31,45 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}\cdot t – 4,91 t^2 = 0\) geeft \(t \approx 4,609\); dan komt hij op \(x = \frac{1}{2} \cdot 31,45 \cdot 4,609 \approx 102,49\). Dit is bijna \(9,5\) meter verder dan zijn Olympische recordafstand. Arshad zal wel een goede reden hebben om zijn speer onder een hoek van \(32°.\) Kennelijk is de praktijk toch aan andere wetten onderhevig dan de formules van de natuurkunde. Is hier een mooi onderwerp voor een profielwerkstuk Natuurkunde, LO en Wiskunde?

Appendix

Zoals gezegd zijn de bewegingsvergelijkingen van een voorwerp dat wordt afgeschoten onder een hoek \(\alpha\) met een snelheid van \(v\) m/s in een assenstelsel: \(x = v \cdot cos(a) \cdot t\) en \(y = h + v \cdot sin(\alpha) \cdot t – \frac{1}{2}g \cdot t^2\). We berekenen nu de ideale afschiethoek bij \(h=0\). Daarbij willen we weten hoe ver het voorwerp vanaf \(x=0\) op de grond komt, d.w.z. de grootst mogelijke waarde van \(x\). Wanneer het voorwerp op de grond komt is \(y=0\). Oplossen van \(v \cdot sin(\alpha ) \cdot t – \frac{1}{2} g \cdot t^2 = 0\) geeft \(t=0\), het startpunt, en \(t =\frac{2 \cdot v \cdot sin(\alpha )}{g}\). Daarmee wordt \(x = v \cdot cos(\alpha ) \cdot \frac{2 \cdot v \cdot sin(\alpha )}{g}= \frac{v^2}{g} \cdot  sin(2 \alpha )\),  gebruik makend van de formule \(2 \cdot sin( \alpha ) \cdot cos(\alpha ) = sin(2 \alpha) \).

De maximale waarde van \(x\) wordt bepaald door de maximale waarde van \(sin(2 \alpha) \). Dit geldt voor \(2 \alpha= \frac{1}{2} \pi\), want \( sin(\phi) =1\) als \( \phi = \frac{1}{2}\pi\). Daarmee is de afstand \(x\) het grootst als je het voorwerp onder een hoek van \(\alpha = \frac{1}{4}\pi\) ofwel \(45⁰\) afschiet. Omdat het voorwerp dan ook onder een hoek van weinig meer dan \(45⁰\) landt (symmetrie van de parabool), kun je grofweg zeggen dat bij het afschieten op hoogte \(h\) verticaal, er nog een kleine h\) meter horizontaal bijkomt bij de berekende maximale waarde van \(x\). De maximale horizontale afstand waarop het voorwerp op de grond komt is dan iets minder dan \(\frac{v^2}{g}+ h\) meter.
Terug naar het overzicht