Wiskunde bij de les – 27 – De parabool (1)

Afgelopen jaar schreef Martin Kindt een aantal artikelen over De parabool op school. Hij probeerde aan te geven dat je vooral ook de parabool vanuit meetkundig oogpunt onder de loep moet nemen. Immers, plaatjes zeggen meer dan formules.

In deze blog probeer ik vanuit een andere invalshoek de parabool te benaderen. Stel dat je alleen maar een tekening hebt van een kromme die op een parabool lijkt. Hoe vind je dan het brandpunt en de richtlijn van die parabool? Of anders gezegd, als de kromme een parabool is, dan zouden er een brandpunt en richtlijn moeten zijn. En als je die hebt dan moeten alle andere punten die je daarmee construeert op die kromme moeten komen te liggen.

We beginnen met een kromme die een verticale symmetrieas heeft. Dan heeft elke horizontale lijn (boven de x-as) twee (symmetrisch gelegen) punten op de kromme. Als de kromme een parabool is dan ligt de top van de parabool precies midden tussen de horizontale lijn door de punten op de parabool en het punt op de y-as waar de raaklijnen vanuit die punten elkaar snijden. Zie de figuur hiernaast. Het is een bekende eigenschap die eenvoudig te bewijzen is.

Het komt er op neer dat je moet bewijzen dat de horizontale lijn (met de punten op de parabool) even ver boven de x-as ligt als  dat het snijpunt van de raaklijnen onder de x-as ligt.

Zie appendix 1.

Raaklijn

Om het brandpunt te kunnen tekenen moet je bedenken dat de raaklijn aan de parabool de bissectrice is van de verticale lijn door het punt en de lijn van het punt naar het brandpunt.
Zie appendix 2.

Richtlijn

We tekenen de verticale (rode) lijn en spiegelen die in de getekende raaklijn. Het snijpunt van deze gespiegelde lijn met de y-as is het brandpunt \(F\) van de parabool. De richtlijn van de parabool ligt even ver onder de x-as als het brandpunt \(F\) erboven ligt. Zie de  figuur hiernaast.

Rekenen aan de formule

Je kunt natuurlijk ook rekenen aan de formule. Stel dat de punten op de (paarse) horizontale lijn de coördinaten \((4, 5)\) en \( (-4, 5)\) hebben. Dan wordt de formule van de parabool \(y=\frac{5}{16}x^2\). Bij \(y=p \cdot x^2\) is \((0,\frac{1}{2}p)\) het brandpunt en \(y=-\frac{1}{2}p\) de vergelijking van de richtlijn. In dit geval is dus \(F(0,\frac{5}{32})\) het brandpunt en is de vergelijking van de richtlijn \(y = – \frac{5}{32}\).

Scheve parabool

Maar hoe zit het bij een getekende parabool waarvan je niet direct de ligging van de symmetrieas ziet? In Euclides 99-5 schreef Jan Otto Kranenburg een artikel over De scheve parabool. In een volgend blog hoop ik hier meer over te kunnen vertellen.

Appendix 1

Gegeven is de parabool \(y=x^2\). De raaklijnen in \( (p,ap^2) \) en \( (-p,ap^2) \) snijden elkaar (vanwege de symmetrie) op de \(y\)-as. De formule van de raaklijn in \( (p,ap^2) \) vind je met , dus de helling van de raaklijn is \(2ap\). De raaklijn \(y=2ap(x-p)+ap^2 \) snijden met de y-as, dat is \(x=0\), geeft \(y=2ap \cdot (-p)+ap^2 \) en dat geeft \(y=-ap^2\). De getekende punten met \(y=ap^2\) liggen dus even ver van de \(x\)-as als het snijpunt van de raaklijnen op de \(y\)-as.

Appendix 2

Gegeven is de parabool met brandpunt \(F\) en groene richtlijn. Een meetkundige definitie van een parabool is dat voor ieder punt op de parabool geldt dat de afstand tussen dat punt en het brandpunt even groot is als de afstand van dat punt tot de richtlijn.

Kies een punt \(V\) op de richtlijn en trek de rode loodlijn op de richtlijn in \(V\). Trek lijn \(FV\). De gele middelloodlijn van \(FV\) snijdt \(FV\) in punt \(Q\). Deze rode loodlijn en gele middelloodlijn snijden elkaar in punt \(P\). Door de constructie geldt nu dat \(PF = PV\) en dat is precies wat de defintie van ons vraagt. Ons punt \(P\) ligt dus op de parabool.

Nu gaan we aantonen dat lijn \(PQ\) de raaklijn is aan de parabool in punt \(P\). Dat doen we door aan te tonen dat er geen enkel ander punt op die lijn is dat ook op de parabool ligt. Zou er wel een tweede punt zijn, dan is de lijn een snijdende lijn, is er naast \(P\) geen enkel ander punt, dan is de lijn een rakende lijn.

Neem punt \(R\) op \(PQ\) verschillend van \(P\). Dan is \(RF = RV\), maar \(RV\) staat niet loodrecht op de richtlijn want dat doet alleen \(PV\). Dat betekent dat er een punt \(W\) is op de richtlijn waarbij lijnstuk \(RW\) wel loodrecht op de richtlijn staat. In rechthoekige driehoek \(RVW\) is lijnstuk \(RW\) een rechthoekszijde en die is altijd korter dan schuine zijde \(RV\). Consequentie is dat de afstand tussen dat punt \(R\) en het brandpunt groter is dan de afstand van dat punt tot de richtlijn. Dus omdat \(RF>RW\) ligt ieder punt \(R\) niet op de parabool maar tussen de parabool en de richtlijn. Conclusie is dat \(PQ\) de raaklijn aan de parabool is in punt \(P\).

Tot slot, omdat driehoek \(FPV\) gelijkbenig is en omdat punt \(Q\) het midden is van lijnstuk \(FV\), daarom is driehoek \(PQF\) congruent aan driehoek \(PQV\) en dus is raaklijn \(PQ\) de bissectrice van hoek \(FPV\).

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 26 – Ellipsen van het Kruisgewelf
Index: Wiskunde bij de les – Index