11 maart 2024 - Rob van Oord & Henk Hietbrink Wiskunde bij de les – 26 – De ellipsen van het kruisgewelf In blog 22 schreef ik over “kruisgewelf en sinus”. Ik beweerde dat het kruis van het kruisgewelf gevormd wordt door twee halve ellipsen. In deze blog wil ik daarvoor het bewijs geven. En nog meer over de ellips. Meestal wordt de ellips gezien als een kegelsnede, een doorsnede van een kegel met een vlak dat schuin op de kegelas staat. Wanneer het snijvlak loodrecht op de kegelas staat, dan is de doorsnede een cirkel. Met de bollen van Dandelin kun je bewijzen dat die doorsnede voldoet aan de hoofdeigenschap van een ellips: de som van de afstanden van een punt op de doorsnede van een vlak met een kegel tot twee bepaalde punten (later de brandpunten van de ellips genoemd) is constant.De aanpak van Dandelin is inzichtelijk, maar vrij modern. Klassieke auteurs als Apollonius deden het heel anders. Het aardige van de aanpak van Dandelin is dat die toepasbaar is voor zowel de kegel als de cilinder en daar gaat het om bij het kruisgewelf. Bij het kruisgewelf gaat het om twee cilinders die elkaar loodrecht kruisen. We bekijken de doorsnede van een schuin vlak met een cilinder. In de linker figuur is die zichtbaar als een rode lijn en in de rechter als een rode kromme. Op die snijlijn onderzoeken we een punt \(P\) dat zowel ligt op de cilinderwand als in dat schuine vlak. We gaan bewijzen dat deze figuur een ellips is. Dandelin bedacht dat je in een cilinder twee bollen kunt plaatsen met een straal even groot aan die van de cilinder. Beide bollen raken het snijvlak. Het onderste raakpunt noemen we \(F_1\), het bovenste raakpunt noemen we \(F_2\). Het snijvlak is dus een raakvlak. Beide bollen raken de cilinderwand en hebben een cirkel loodrecht op de as van de cilinder als raakfiguur. Die cirkels zijn dus evenwijdig. Daarom is de afstand tussen deze cirkels constant. In de figuur zie je dat de som van een verticaal groen lijntje \(PA_1\) en een verticaal paars lijntje \(PA_2\) dus constant is. Deze verticale lijntjes \(PA_1\) en \(PA_2\) zijn bovendien raaklijnen aan de twee bollen. Omdat zowel punt \(F_1\) als punt \(P\) in het raakvlak liggen aan de onderste bol, is de lijn \(PF_1\) automatisch raaklijn aan de onderste bol. Idem is \(PF_2\) raaklijn aan de bovenste bol. In ons bewijs verwijzen we naar de eigenschap dat alle lijnstukken die vanuit een punt buiten de bol raken aan een bol even lang zijn. Met congruente driehoeken kun je bewijzen dat de afstand van punt \(P\) tot elk raakpunt even groot is. Dat gaat als volgt: Elke raaklijn aan een bol staat loodrecht op de straal naar het raakpunt. Noem je de middelpunten van de bollen \(M_1\) en respectievelijk \(M_2\), dan geldt bij de onderste bol \(M_1F_1=M_1A_1\), dat is de straal. Ook geldt \(PM_1=PM_1\) en \(\angle PF_1M_1=\angle PA_1M_1=90°\). Dus is driehoek \(PF_1M_1\) congruent aan driehoek \(PA_1M_1\), gevalletje \(ZZR\). Conclusie: de twee groene lijntjes zijn even lang, want \(PA_1=PF_1\). Evenzo zijn de twee paarse lijntjes even lang, want \(PA_2=PF_2\). Dan ook \(PF_1 + PF_2 =\)\( PA_1 + PA_2\). De som van de twee afstanden \(PA_1 + PA_2\) is constant en dus is ook de som van de twee afstanden \(PF_1 + PF_2\) constant. Conclusie is nu dat de kromme voldoet aan het voorschrift dat de som van de afstanden tussen een punt op de kromme en de raakpunten met de bollen constant is. Tuinmans Ellips Deze eigenschap dat de “som constant is”, is juist een van de definities van een ellips: de som van de afstanden van een punt op een ellips tot zijn brandpunten is constant. De raakpunten zijn dus de brandpunten. Waarmee bewezen is dat de doorsnede van het schuine vlak met de cilinder een ellips is. Een letterlijke toepassing van deze constructie is de tuinmans ellips. Een tuinman kan een ellipsvormige border aftekenen door een touw te spannen tussen twee paaltjes. Leerlingen kunnen dit op het schoolplein doen met een lang touw en stoepkrijt, maar ook met potlood en papier doen in het klaslokaal. Prik de uiteinden van een touwtje vast in twee gegeven punten en trek met een potloodpunt het touwtje strak. Door geleidelijk de potloodpunt door te schuiven terwijl het touwtjes strak gespannen blijft ontstaat de ellips. De animatie hiernaast komt van Hofstede. Geschiedenis Het idee van de tuinmans ellips is al eeuwen oud. Zo beschreef Frans van Schooten in 1646 in zijn De Organica Conicarum Sectionum“ allemaal verschillende instrumenten om kegelsnedes te tekenen: parabolen, hyperbolen, ellipsen en, grappig genoeg, de rechte lijn. Onderzoek naar de wiskunde achter deze instrumenten was tien jaar geleden nog onderdeel van het wiskunde B programma. Zelf maken van zo een instrument was dan een aardige practische opdracht. De oudste bekende beschrijving is van deze eigenschap is van Apollonius van Perga in zijn derde boek propositie 52. Bronnen Op internet kun je verschillende animaties en video’s vinden. Hiernaast staat een animatie van een ellips als snijlijn van een schuinvlak met een cilinder en twee bollen. Deze komt van de website van Zachary Abel’s Math Blog. In eerdere edities van bekende methoden kun je hoofdstukken vinden over dit soort meetkunde. In 1984 publiceerde een voorloper van het Freudenthal Instituut een boekje Lessen in Ruimtemeetkunde. Ruimtelijk inzicht Tegenwoordig gaat de meeste aandacht uit naar vlakke meetkunde, maar nog meer naar algebra. Ruimtelijk inzicht krijgt in de bovenbouw amper aandacht. Dat is jammer want concreet materiaal versterkt het leerproces. Hiernaast zie je hoe leerlingen met Knex een parabolograaf gemaakt hebben en voorzichtig een paar punten tekenen. Heb je zelf met een klas cilinders schuin doorgesneden, of tuinmans ellipsen getekend of kegelsnede instrumenten gemaakt? Stuur dan een mail met foto’s naar ons Rob van Oord en Henk Hietbrink. Veel plezier met de ellipsen. Rob van Oord Henk Hietbrink Volgende blog: Wiskunde bij de les Vorige blog: Wiskunde bij de les – 25 – Helling en hellingshoek Vorige blog: Wiskunde bij de les – 22 – kruisgewelf en Sinus Index: Wiskunde bij de les – Index
