Wiskunde bij de les – 22 – Kruisgewelf en sinus

Equidomoïde

De ruimte die beide kokers gemeenschappelijk hebben heet een bicilinder, equidomoïde of Steinmetzlichaam. Wanneer je op internet zoekt kom je een mooie presentatie tegen van Michel Roelens: Wanneer twee cilinders elkaar ontmoeten. Een kruisgewelf is dus eigenlijk de bovenste helft van een equidomoïde. Het kruis wordt gevormd door twee ellipsen. De ellipsen zijn de zaagsneden wanneer je de koker onder 45° doorzaagt.

Sinus

Een leuke bijzonderheid hierbij is dat wanneer je na het doorzagen de koker openknipt en plat op tafel drukt de zaagrand precies een sinusgrafiek is. Dit kun je goed laten zien als je tevoren een strook papier een paar keer om de koker wikkelt en vastplakt. Zaag de koker inclusief het gewikkelde papier schuin door, maak daarna het papier los en rol het uit. Je ziet dan mooi de sinusgrafiek. Ik deed dit twee jaar geleden in mijn eerste les 6 vwo wiskunde A toen ik tijdelijk drie examenklassen overnam. Uiteraard is een plaatje geen bewijs. In de hand-out van mijn workshop op de NWD 2016 Van vlak naar volume en in mijn boek Wiskunde bij de les (par. 27) kun je het bewijs vinden en een knipfiguur.

Berekening van de inhoud van een (halve) equidomoïde bij een koker met straal \(R\)

De inhoud van een halve equidomoïde is te benaderen door de som van allemaal dunne horizontale vierkante plakjes met dikte \(\Delta z\). In de tekening zie je er eentje rood gekleurd. De getekende halve cirkels hebben straal \(R\). De \(x\)-as en de \(y\)-as liggen in het horizontale vlak. De hoogte\(z\) waarop een plakje zich bevindt gaat van \(0\) tot \(R\). De afmetingen van een plakje op hoogte \(z\) zijn \(2x\) bij \(2x\). De cirkelvergelijking \(x^2 + z^2 = R^2\) geeft \(x^2 = R^2 – z^2\). De inhoud van het vierkante balkje met dikte  \(\Delta z\) op hoogte \(z\) is \( (2x)^2 \cdot \Delta z\). De inhoud van de halve equidomoïde kun je nu berekenen met de integraal \(  \int_{0}^{R} (2x)^2 \, \mathrm{d} z \) . Herleiden geeft \(  \int_{0}^{R} 4x^2 \, \mathrm{d} z \) \(=  \int_{0}^{R} 4(R^2 – z^2) \, \mathrm{d} z \) \( = 4 \cdot [ R^2 z – \frac{1}{3} z^3 ] {_0^R} \) \(=4(R^3 – \frac{1}{3}R^3)\) \(=\frac{8}{3}R^3 \). Merk op dat de inhoud precies twee derde deel is van de omhullende balk van \(2R\) bij \(2R\) bij \(R\) waar de halve equidomoïde precies in past.

Inhoud van een ronde cilinder

In blog 9 Volume en inhoud kwam het volume van een koker ter sprake. Als je van het A4 waarmee je de koker maakt ook een strook moet afknippen waarmee je een cirkelvormige bodem (twee halve cirkels) moet maken, dan gaat de breedte van de strook ten koste van de hoogte van de koker. In de figuur hiernaast wordt aangegeven dat je het grijze deel wegknipt en de koker om de halve twee halve cirkels vouwt.
We maken uit een vel A4 papier een brede verticale koker met omtrek van de cirkel van de cilinder gelijk aan 297 mm. Dus \(R = \frac{297}{2π} \approx 47,27 \). Voor de twee halve cirkels gaat 47,27 mm van de hoogte van de kokerwand af. De hoogte van de cilinder wordt nu \(210 – 47,27 \approx 162,73\). De inhoud van de koker wordt in dit geval \(π \cdot 47,27^2\cdot 162,73 \approx 1142322 \) mm³. Maak je de bodem van de koker een (verticale) halve equidomoïde (2 keer een half kruisgewelf) dan is de inhoud die van de koker afgaat \(\frac{8}{3}R^3\). De inhoud wordt dan \(π \cdot 47,27^2 \cdot 210 – \frac{8}{3} \cdot 47,27^3 \approx 1192485  \) mm³. Dit is 4,4% meer dan de inhoud van de koker met een cirkelvormige bodem. Reken zelf even na hoe het zit met de smalle kokers.

Ik ben benieuwd of je deze wiskunde in de klas doet. Heb je soortgelijke voorbeelden en wil je die met ons delen? Stuur dan een mail met foto’s naar mij robvanoord@tiscali.nl

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 23 – Hoe steil is de helling
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 21 – Kerstster
Index: Wiskunde bij de les – Index