Wiskunde bij de les – 9 – Volume en inhoud

In mijn vorige blog schreef ik dat ik een gastles gaf op de HvA. Desiree Agterberg had me uitgenodigd in een gesprek over een nieuw boekje voor de girafreeks. Ik heb een mooi concept gemaakt over hellingen en hoogtemetingen. De redactie van de Giraf reeks legt nu de laatste hand aan het boekje. Binnenkort komt het uit. Maar dit terzijde.

Ik liet de studenten aan de slag gaan met didactiek van de meetkunde aan de hand van praktische voorbeelden. Ik had alle studenten een leeg A4’tje gegeven. Mijn startvraag was om met dit blad een volume te maken met een zo groot mogelijke inhoud. Ga ervan uit de afmetingen van een A4 297 mm bij 210 mm zijn.
Dit bleek eigenlijk een iets te moeilijke opdracht om in 10 minuten te doen. Het roept allereerst vragen op of je moet afspreken of de vorm helemaal dicht moet zijn, open mag zijn, of alleen een bodem moet hebben. Ook of de plakrandjes inbegrepen zijn of niet. Ik had gedacht dat de meeste studenten wel een bakje zouden maken. Een student vroeg of hij ook een bol mocht vouwen. Op zich een goede gedachte, maar om dit uit een A4’tje te doen leek het toch wel moeilijk uitvoerbaar. Maar kokers, met rechte of ronde omtrek, liggen ook voor de hand. Viervlak, cellofaan van een koffiepak en “filterzakje” zijn ook mogelijke vormen met volume.

Er was een student die een bouwplaat van een rechthoekig bakje had gemaakt waarvan niet alle randen even hoog waren. Zie figuur. Dit geeft aanleiding tot de vraag of met een kleine aanpassing niet een bakje gemaakt kan worden met nog meer inhoud. De winnaar (toch iemand met een rechthoekig bakje door in alle vier de hoeken even grote vierkantjes uit te knippen of om te vouwen) kreeg een smakelijke beloning.

In november geef ik weer een gastles op de HvA op verzoek van Iekje Dijkstra. Ik heb er zin in.

Ik heb zelf veel plezier beleefd aan het voorbereiden van deze opdracht. Ik had van gekleurd papier een flink aantal van de net genoemde vormen gemaakt en er ook de inhoud ervan uitgerekend. Je kunt er nog veel mooie wiskunde bij halen door te vragen hoe je een rechthoekig bakje of een koker met of zonder bodem kunt maken met een maximale inhoud. Op zich voor velen van jullie een bekend probleem. Toch vertel ik nog maar eens de berekening van de maximale inhoud van het bakje (zonder deksel). In mijn klas liet ik de leerlingen eerst op gevoel af een bakje maken met zo groot mogelijke inhoud. De randjes moesten in hele cm genomen worden. Zo ontstond een “nest” van bakjes. Uitgaande van 29,7 cm bij 21 cm voor de afmetingen van een A4 kon ieder de inhoud van zijn bakje berekenen. Wie een rand van 4 cm had genomen werd (toevallig) winnaar. Daarna gingen we het probleem wiskundig aanpakken. Als je de hoogte van de opstaande rand \(x\) noemt, dan is een formule voor de inhoud \(I(x) = x(297 – 2x)(210 – 2x)\). Met behulp van de optie MAX op de GR kun je berekenen dat een rand met hoogte (afgerond) 40,4 mm de grootste inhoud oplevert. Exact uitwerken met de afgeleide kan ook: \(I’(x)= 0\) geeft \(x = \frac{2028-\sqrt{1119024}}{24} = \frac{1}{2} \cdot (169 – \sqrt{7771}) \).

Je kunt begrijpen dat op twee manieren een koker gemaakt kan worden van een A4’tje. Uiteraard heeft de brede koker met hoogte 210 mm een grotere inhoud dan de smalle met hoogte 297 mm. Dit geldt zowel voor de kokers met rechte zijkanten als voor die met een ronde zijkant, de cilinders. Toch ontdekte ik nog iets interessants bij die kokers. Je zou denken dat een koker met een vierkante bodem altijd de grootste inhoud heeft. Dit blijkt niet zo te zijn.
De inhoud van een open rechthoekige, brede koker met vierkante bodem met zijden met lengte \(\frac{1}{4} \cdot 297 = 74,25\) is \(74,25^2 \cdot 210\). Voor de bodem moet je een stukje van de hoogte opofferen. Wanneer je een strook aan de onderkant ter breedte van het halve vierkant omvouwt, dan is de inhoud \(74,25^2 \cdot (210 – 37,125) \approx 953071 \) mm³. De vier omgevouwen stukken zijn groot genoeg voor de bodem, maar overlappen elkaar volledig. Maar als je de bodem van de koker rechthoekig maakt dan kun je de bodem van een strook maken die smaller is. Dit geeft een koker met een iets grotere inhoud! Dit komt omdat er dan na het vouwen kleinere vlakjes overlappen. Noem de smalle kant van de rechthoek van de bodem de breedte \(x\). Dan is de lengte \( \frac{1}{2} \cdot 297 – x = 148,5 – x\). De inhoud is dan \(I(x) = x(148,5 – x)(210 – 0,5x)\). Met \(I’(x) = 1,5x^2 – 568,5x + 31185\) geeft \(I’(x) = 0\) dat
\(I_{max} \approx 963818\) bij \(x \approx 66,5\). Dit is ongeveer 10 cm³ meer. De afmetingen van de bodem zijn dan 66,5 mm bij 82 mm.

Bij ronde kokers ligt het iets ingewikkelder. De inhoud van de open kokers, de brede en de smalle, zijn goed te berekenen. De bodem van de ronde koker op de foto is gemaakt door de randen in te deuken. De vorm van de bodem is van een zogenaamde gondeldoos, of zo je wilt, van een kruisgewelf. In een volgende blog vertel ik hoe je de inhoud van (een half) kruisgewelf kunt berekenen. Dit was ooit een examenopgave van Profi wiskunde B.
Misschien vind je het leuk om zelf met leerlingen volumes (bakjes, kokers) te gaan maken uit een A4’tje en daarvan de inhoud te laten berekenen. Ik lees graag je ervaring.

Klik op onderstaande afbeeldingen voor een vergroting van de bouwplaten. Op de afbeeldingen zijn de afmetingen en de bijbehorende berekeningen geschreven.

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 10 – Anamorfosen
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 8 – Spiegelen en symmetrie
Index: Wiskunde bij de les – Index