Wiskunde bij de les – 32 – De parabool (4)

Scheve parabolen

In blog 31 – De Parabool (3) liet ik zien hoe je mooi kunt rekenen aan omhullenden van een parabool. Dat er meer over dit rijke onderwerp te vertellen valt, blijkt uit het artikel Een scheve parabool in Euclides 99-5 van Jan Otto Kranenborg en de reactie die Henk Hietbrink schreef in Euclides 99-7 Een scheve parabool kan prima zonder algebra. In het wiskunde B examen van 2017 staat een opdracht over een scheve parabool. Hieronder laat ik zien hoe je met algebra kunt rekenen aan een scheve parabool.

Dan nog een voorbeeld met punten op afstand \(1\) op de loodrechte lijnen \(y=\frac{4}{3}x\) en \(y=-\frac{3}{4}x\). Hier is de symmetrieas van de parabool niet parallel met de \(y\)-as! Dus de vergelijking van de parabool kan niet gevonden worden met \(y=ax^2+bx+c\). Kranenborg behandelde de scheve parabool met als symmetrie-as de lijn \(y = x\) als een parametervoorstelling. De parabool bij de lijntjes in deze figuur heeft als top het midden van het lijntje tussen de punten \((3,4)\) en \( (-4,3)\). De symmetrie-as staat loodrecht op dit lijntje en heeft dus vergelijking \(y = -7x \). Het vraagt flink wat rekenwerk om hiermee de top, het brandpunt \(F\) en de richtlijn \(r\) te vinden en dan te checken dat de respectievelijke getekende lijntjes raken aan de parabool met de eigenschap dat \(d(P,F) = d(P,r)\). Veel succes ermee.

Zelf was ik benieuwd hoe je de symmetrie-as en de top kunt vinden van zo’n scheve parabool. Anders gezegd: hoe vind je de symmetrie-as en top van een kromme waarvan je weet dat het een parabool is.

Het werd tijd om de hulp van Agnes Verweij in te roepen. Zij was als docent wiskunde en didactiek van de wiskunde verbonden aan de TU Delft. Zij is auteur van Zebra 2 Perspectief, hoe moet je dat zien? en de uitvinder van de Krommen van Agnes.

Agnes wist te melden dat een (bekende) eigenschap van de parabool tot het antwoord van mijn vraag leidt. Als je twee evenwijdige lijnen met een parabool snijdt dan liggen de middens van de lijnstukken die door de parabool van de respectievelijke lijnen worden afgesneden op een lijn die evenwijdig is met de symmetrie-as van de parabool. Zie de appendix. Dat gaat als volgt.

Teken een blauwe lijn \(k\) door twee gegeven punten \(A\) en \(B\) op de parabool.
Teken door een derde willekeurig punt \(C\) op de parabool een blauwe lijn \(l\) die evenwijdig loopt aan lijn \(k\).
Punt \(D\) is het andere snijpunt van lijn \(l\) met de parabool.
Teken de middens \(M\) en \(N\) van resp. de lijnstukken \(AB\) en \(CD\).
Teken groene lijn \(m\) door de punten \(M\) en \(N\).
Teken door punt \(A\) lijn \(n\) loodrecht op lijn \(m\).
Lijn \(n\) is dan evenwijdig met de richtlijn \(r\) van de parabool.
Punt \(E\) is het tweede snijpunt van lijn \(n\) met de parabool.
Punt \(G\) is het midden van \(AE\).
Teken rode lijn \(s\) door punt \(G\) evenwijdig met \(m\), oftewel loodrecht op \(n\).
Nu is lijn \(s\) de symmetrie-as van de parabool.

De top \(T\) van de parabool is het snijpunt van lijn \(s\) met de parabool. Zie de figuur. Met behulp van de raaklijnen in de punten \(A\) en \(E\) aan de parabool kun je nu het brandpunt \(F\) en de richtlijn \(r\) vinden.
Zie blog 27 – De parabool (1).

Apppendix

De verbindingslijn tussen de middens van de lijnstukken die een parabool afsnijdt van twee evenwijdige lijnen is evenwijdig aan de symmetrie-as van de parabool. Het bewijs (naar Agnes Verweij) gaat als volgt:
Ga uit van een algemene parabool met vergelijking \(y = a \cdot x^2\). Deze heeft de \(y\)-as \((x = 0)\) als symmetrie-as. Twee evenwijdige lijnen kun je dan beschrijven met \(y = bx + c\) en \(y = bx + d\) met \(c \neq d\). Voor het berekenen van de \(x\)-coördinaten van de snijpunten van deze lijnen met de parabool moeten resp. de vergelijkingen \(a x^2 = bx + c\) en \(a x^2 = bx + d\) ofwel \(a x^2 – bx – c = 0\) en \(a x^2 – bx – d = 0\) worden opgelost. Bij het oplossen van deze vergelijkingen, met de \(abc\)-formule, zie je direct dat de snijpunten van elk van beide lijnen met de parabool symmetrisch liggen t.o.v. \(x = \frac{b}{2a}\). Het gemiddelde van de \(x\)-coördinaten is van beide \(x = \frac{b}{2a}\). De middens van beide lijnstukken liggen dus op de lijn met vergelijking \(x = \frac{b}{2a}\). Deze lijn is evenwijdig met de \(y\)-as \((x = 0)\), de symmetrie-as van de parabool. QED

Veel plezier met de scheve parabolen.

Rob van Oord

Volgende blog:

WbdL – 33b – Speerwerpen in de praktijk
WbdL – 33 – Parabool(5): Een parabool met bewegingsvergelijkingen
Vorige blogs over parabolen:
WbdL – 31 – Parabool (3): Omhullende lijnen en de formule van de parabool
WbdL – 28 – Parabool (2): Oneven Trappetjes
WbdL – 27 – Parabool (1): Brandpunt en Richtlijn
Index:
Wiskunde bij de les – Index