Wiskunde bij de les – 34 – Schaduw van een spiraal

De schaduw van een spiraal op een (doorzichtige) cilinder is een cycloïde. Toen ik laatst in de kringloopwinkel een lange cilindrische vaas (voor €2,50 ) zag staan besloot ik die te kopen en eens te onderzoeken of ik die baan ook werkelijk tevoorschijn kon toveren.

De vaas heeft een diameter van \(15\) cm. Op die cilinder ga ik eerst een spiraal tekenen en vervolgens wil ik weten hoe de afbeelding van die spiraal er op een vlakke ondergrond uit ziet.

Hoe krijg je een mooie spiraal op de buitenkant van de cilinder? Een spiraal heeft een vaste stijging vanaf het punt op de bodem. Dit is de kortste weg van een punt op de bodemcirkel naar het punt op de cirkeldoorsnede dat verticaal boven dit startpunt ligt.

Ik wil een spiraal met een hellingshoek van \(45⁰\) maken. Ik heb dus een uitslag van een cilinder nodig. De eenvoudigste uitslag van een cilinder is een rechthoek. Voor één rondgang van de spiraal heb je dus een vierkant papier nodig. De doorsnede van mijn cilinder is \(15\) cm. De omtrek is dus \(15\pi \approx 47,1\) cm. Met vijf A4-tjes kun je al een oppervlakte maken die groot genoeg is om over de cilinderwand te spannen. \(2 \cdot 29,7 = 59,4\) bij \(2,5 \cdot 21,0 = 52,5\) cm volstaat.

Maak een vouw onder \(45⁰\) op dit aan elkaar geplakte vel. Trek de vouw over met een zwarte stift. Bij het wikkelen van het vel papier om de vaas wordt deze zwarte streep de spiraal die ik zoek. Ik heb het papier doorgeknipt over de vouw (de spiraal), dit halve vierkant om de vaas gewikkeld en vervolgens met groene tape de spiraal op de vaas geplakt, net boven de schuine rand van het papier. Zie foto. Papier weghalen, een lamp erop laten schijnen (onder 45⁰), en ziedaar de schaduw van de spiraal. Zie onderstaande foto.

Cycloïde

Het aanzicht van een fietsventiel, verbonden aan een draaiend achterwiel, van een bewegende fiets is een bekend voorbeeld van een cycloïde, maar er zijn er meer. Wanneer het licht schuin invalt onder een hoek van \(45°\) op onze vaas, dan is de schaduw van de spiraal een cycloïde. Michiel Doorman illustreerde dit mooi in zijn opening van de NWD van 2015: Opening NWD 2015: De cycloïde een muze (afbeelding komt uit zijn presentatie).

Voor het bewijs kun je het best de vaas op een handige manier in een assenstelsel te zetten, en de straal van de vaas \(1\) stellen. Met \(x = – sin(t)\), \(y = 1 – cos(t)\), \(z = t\) met \(0 < t < 2\pi \) krijg je een spiraal die linksom omhoog gaat over een cilinder met de verticale as door \((0,1,0)\). Zie figuur 1.

Wanneer je een projectie op het grondvlak van een punt op de spiraal wilt tekenen onder \(45⁰\) parallel met het \(xy\)-vlak, dan moet je de lijn \((x,y,z) = p(1,0,-1)\) bij het punt op de spiraal optellen en \(z = 0\) oplossen. Een punt op de cycloïde is \( (x,y,z) = (- sin(t) + p, 1 – cos(t), t-p) \). Als \( z=0 \) dan \(t=p\). De projectie van de spiraal in het vlak \(z=0\) wordt dan \( (x,y,z) = (-sin(t) + t, 1 – cos(t), 0) \). Zie figuur 2.

Volgens Wikipedia is een cycloïde de figuur die met behulp van de parameter \(t\) beschreven wordt door de vergelijkingen:

\(x(t)=r(t-sin(t)\)

\(y(t)=r(1-cos(t)\)

waarbij \(r\) de straal van de cirkel is. In ons voorbeeld is \(r=1\) en \(-sin(t)+t=t-sin(t)=x(t) \) en dus is de projectie inderdaad een cycloïde.

Meer lezen over de cycloïde

In Pythagoras kun je meer lezen over de in het artikel Cycloïde: de kromme van de kortste tijd
of in het artikel Cycloïde: de Huygensslinger.

Michiel Doorman illustreerde de schaduw van de spiraal in zijn opening van de NWD van 2015: Opening NWD 2015: De cycloïde een muze.

Bij Ad Davidse kun je lezen hoe Huygens het in de 17de eeuw opschreef: Het Slinger-Uurwerk: Over het dalen van wat Zwaarte heeft en de beweging ervan op een Cycloïde.

Een Vlaamse afleiding van de formule is gegeven door Luc Gheysens.

Een andere afleiding vind je bij de Wageningse Methode. Het fietsventiel als inleiding op de cycloide staat ook bij de Wageningse Methode.

In GeoGebra zijn veel animaties gemaakt. Zoek maar op trefwoord cycloide.

Heb je zelf met een klas spiralen getekend? Stuur dan een mail met foto’s naar Rob van Oord

Veel plezier met de spiralen.

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 35 – Sinterklaas
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 33 – De parabool (5): Een parabool met bewegingsvergelijkingen
Index: Wiskunde bij de les – Index