16 maart 2022
- Henk Hietbrink

Gulden snede in Turkse muqarnas

Op reis in Turkije raakte ik met een architect in gesprek over de geometrie van Turkse muqarnas. Hij legde uit dat er veel verschillende stijlen zijn en dat het gulden snede getal daarbij een belangrijke rol speelt. Na een korte culturele inleiding over muqarnas, verschuift in deze blog de aandacht naar een bijzonder onderdeel, de püskül. Het ontwerp van die püskül is gebaseerd op de gulden snede. Na een korte uitleg over de gulden snede, eindigt de blog met concrete opdrachten om die gulden snede te vinden in het ontwerp van die püskül.

Muqarnas zijn decoratieve elementen die in de Islamitische architectuur de overgang van bijvoorbeeld een rechthoekige zaal naar een ronde koepel markeren. Ook de bekroning van een deur of een gebedsnis is vaak versierd met muqarnas. Je vind ze van Spanje en Marokko in het Westen tot Egypte, Turkije, Iran en Oezbekistan in het Oosten, maar ook in christelijke kerken in Armenië, waarbij in iedere regio en in ieder tijdvak andere stijlen prevaleren. Het leuke van een muqarnas is dat ze gebaseerd zijn op regelmatige geometrische patronen waarin wiskundig veel te ontdekken valt. Op mijn website staat een verslag van mijn onderzoek naar het achthoekige systeem en een artikel voor de conferentie Generative Art 2021. Hieronder foto’s van een moskee in Natanz, een oude stad in Iran. Links zie je een portaal dat iwan genoemd wordt. Het plafond van dat portaal is één grote muqarnas. In het midden zie je dat de muqarnas opgebouwd is uit een beperkte set van vormen. Rechts zie je dat iedere vorm rijk versierd is met mozaïeken.

   

Turkse muqarnas hebben een andere vormentaal dan Iraanse. Hieronder zie je drie foto’s van muqarnas in historische (16de eeuw) moskeeën en in moderne (21ste eeuw) in Ottomaanse stijl. Kenmerkend onderdeel van een Ottomaanse muqarnas is de püskül. Dat is het hangende element.

   

Volgens de architect van die moderne muqarnas in traditionele stijl komt de gulden snede overal terug in zijn ontwerpen. De gulden snede is de lijn die een grote rechthoek verdeelt in een vierkant en een kleine rechthoek die gelijkvormig is aan de grote. Bij de gulden snede gaat het om de verhouding tussen die grote en die kleine rechthoek. Hiernaast staat een afbeelding van een rechthoek die gevormd wordt door een vierkant met zijde \(a\) en een rechthoek met zijden \(a\) en \(b\). Kenmerkend voor een gulden  rechthoek is dat \(b\) zodanig gekozen is dat de grote rechthoek met zijden \(a+b\) bij \(a\) een vergroting is van de kleine rechthoek met zijden \(a\) bij \(b\).  Dat geeft de relatie  \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\) . De lijn die de grote rechthoek verdeelt (snijdt) in het vierkant en de kleine rechthoek is dan de gulden snede. De verhouding tussen \(a\) en \(b\) is het gulden snede getal. Het heeft een eigen symbool gekregen: \(\phi\). In de Zebra uitgave 62 “Vormen en verhoudingen in de Architectuur” staat dat \(\phi=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\), maar dat kun je zelf uitrekenen door de vergelijking \(\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\)  te herleiden tot \(\frac{a}{b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\) . Zebra nummer 4 “De Gulden Snede” is ook een aanrader.

De architect stuurde een schets op met de afmetingen van een gestileerde püskül en twee foto’s van een 3D print. De getallen 1 en 1,618 staan voor de verhoudingen \( 1:\phi\). Aardig is dat het getal 0,618 staat voor \( \phi-1\) maar ook voor \(\frac{ 1}{\phi}\).

Van links naar rechts zie je de schets, een deel van de muqarnas met hangend die püskül, de püskül zelf en een analysetekening. De püskül is voorzien van groeven. In deze blog laten we die sleuven buiten beschouwing. We vereenvoudigen de püskül tot een object met een cirkelvormig grondvlak. Van boven naar beneden is de püskül opgebouwd uit:

  • Een cilinder met straal 1 en hoogte 1
  • Een bolsegment met straal 1
  • Een deel van een kegel met hoogte \(\phi\)

In de analysetekening zijn relevante punten en onderdelen getekend, bijvoorbeeld rechthoek \(OCFB\). Het ontwerp zit vol congruentie en gelijkvormigheid. Bijzonder is dat het gulden snede getal steeds weer terugkomt.
Gegeven is \(HO=1\), \(CO=\phi\) en \(BO=1\) . Te bewijzen is dat :

  • \(DP=\frac{1}{\phi}\)
  • \(OP=\frac{1}{\sqrt{\phi}}\)
  • \(CD=\sqrt{\phi}\)
  • \(OG=\sqrt{\phi}\)
  • \(CG=\phi\sqrt{\phi}\)

Conclusie is dat het gulden snede getal \(\phi\) inderdaad terug komt in de afmetingen van de püskül.

Als uitsmijter nog even een constructie van de gulden snede. Begin met driehoek \(ABC\) met \(AB=1\) en \(AC=2\). Met de stelling van Pythagoras is \(BC=\sqrt{5}\). Maak een cirkelboog vanuit punt \(B\) zodat  \(BE=AB=1\) waardoor \(CE=\sqrt{5}-1\). Maak een cirkelboog vanuit punt \(C\) zodat \(CD=CE=\sqrt{5}-1\). De verhouding tussen \(AC\) en \(CD\) is nu \(\frac{AC}{CD}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}\) en na herleiden geeft dat het gulden snede getal \(\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\).

https://www.instagram.com/henk.hietbrink/