Wiskunde bij de les – 42 – De parabool (7)

Het lichtpunt zit a.h.w. midden in een koker waaruit de lichtbundel wordt gestraald. Je kunt in de lamp niet precies de plaats van het lichtpunt meten. Om die plek te vinden meet ik de breedte \(DE\) van de koker waaruit het licht komt. Ik vind \(DE = 2,6 \ cm\). \(LF=h\) is de afstand van het lichtpunt van de lamp tot de rand. Vervolgens hield ik de lamp net zo hoog boven de tafel totdat de bundel een cirkel maakt met een diameter van \(16 \ cm\). In de figuur is dat lijnstuk \(AB\).

Ik heb toen verticale afstand \(FC\) van de rand \(DE\) van de lamp tot de tafel gemeten. \(FC = 12,2 \ cm\). Uit gelijkvormigheid van driehoek \(LFD\) en driehoek \(LCA\) volgt:  \(\frac{h}{h+12,2}=\frac{1,3}{8}\) hieruit volgt \(h \approx 2,4 \ cm\). Dus \(LC \approx 16,6 \ cm\). Bij een cirkel met diameter \(10 \ cm\) kreeg ik \(\frac{h}{1,3}=\frac{h+6,8}{5}\) ; hieruit volgt ook \(h \approx  2,4 \ cm\). Ik neem nu aan dat het lichtpunt van de zaklamp op \(2,4 \ cm\) van de rand \(DE\) zit. Dus \(LC = 14,6 \ cm\). Zie figuur 1.

Nu kun je met deze gegevens bedenken hoe je de lamp moet laten schijnen zodat de lichtschaduw op de muur een parabool wordt. De verst afgelegen beschrijvende \(LEB\) van de lichtkegel moet evenwijdig aan de muur komen te liggen. De muur is dan een verticale doorsnede met de lichtkegel. In figuur 2 is een zijaanzicht te zien van de situatie. \(K\) is de loodrechte projectie van \(D\) op de muur. Voor de tophoek \(\phi = \angle DLE\) geldt \(tan (\frac{1}{2}\phi ) = \frac{8}{14,6} \approx 0,548\) dit geeft \(\phi = 2 \cdot 28,7° = 57,4°\).
Verder is \(LD = \sqrt{LF^2+ DF^2} \approx 2,7 \  cm\). \(LA = \sqrt{LC^2+ AC^2} \approx 16,65 \ cm\).
Dus \(AD \approx 14 \ cm\). Verder geldt: \(AK = 14 \cdot cos(57,4°) \approx 7,5 \ cm\) en \(DK = 14 \cdot sin(57,4°) \approx 11,8 \ cm\).

Teken driehoek \(DKA\) op een vel A4, waarbij \(DK\) op de onderrand van het A4 ligt en \(K\) ongeveer in het midden van die onderrand. Knip de zijde \(DA\) open en vouw de driehoek omhoog langs \(AK\), totdat \(DK\) loodrecht op het A4 staat. Als je nu de rand van de lamp precies in punt \(D\) houdt en de lamp zodanig laat schijnen dat de lichtbundel (een parabool) op het papier precies in punt \(A\) de top heeft, dan is dat de parabool waarvan ik graag nog de formule afleid. Zie foto 3.

Met de oorsprong van het assenstelsel in de top van de parabool moet de formule \(y=a \cdot x^2\) worden.

2 antwoord:

Manier 1 (algemeen):

In figuur 4 zie je de lichtkegel vanuit lamp \(L\). Het eerste punt waarin de kegel de muur treft is punt \(A\). De doorsnede van de lichtkegel met het vlak door \(A\) loodrecht op de as van de kegel is een cirkel met middellijn \(AB\). De as van de kegel is lijn \(LC\) met \(C\) het midden van \(AB\). Beschrijvende \(LEB\) is parallel met de muur. De doorsnede van de kegel met de muur is een parabool met top \(A\). Later neem ik \(A\) als oorsprong van het assenstelsel op de muur met \(y\)-as evenwijdig aan \(LR\) en met eenheden in \(x\)- en \(y\)-richting 1 cm. Ten opzichte van dit assenstelsel heeft de vergelijking van de parabool de vorm \(y=a \cdot x^2\).

Van de kegel van de zaklamp is \(AB=16\) de middellijn van de grondcirkel. Noem \(AB=c\). Bij ons voorbeeld is \(c=16\) en \(LB=LA=16,7\). Dus \(AB=p \cdot BL\), met \(p=\frac{16,7}{16} \approx 1\).

NB: Als de tophoek van de kegel \(60°\) is dan geldt dus exact \(p=1\). De doorsnede van de lichtkegel met het vlak door een willekeurig punt \(P\) op de parabool loodrecht op de as \(LC\) van de kegel is een ook cirkel, met middellijn \(QR\), met \(Q\) op \(LA\) en \(R\) op \(LB\). Aan de andere kant ligt ook nog punt \(S\) op de parabool. Omdat \(LB\)  parallel is met de muur \(AY\) en alle doorsnede cirkels ook parallel met elkaar zijn geldt dat \(YR = AB =c\)  dus constant. Noem \(YQ =b\). De grootte van \(b\)  varieert met de keuze van punt \(P\). De muurlijn snijdt deze cirkel in punt \(Y\). Noem \(AY= OY=y\).

Driehoek \(LAB\) is gelijkvormig met driehoek \(AQY\). Dus geldt \(QY = p \cdot AY\), ofwel \(b=p \cdot y\) (formule 1).

Noem \(YP=YS=x\). Op de cirkel met middellijn \(QR\) geldt de middelevenredige stelling. Zie figuur 4. Dus \(x^2 = b \cdot c\) (formule 2)

Combineren van formule (1) en (2) levert \(x^2 = p \cdot c \cdot y \).  Dus met \(A\) als oorsprong \(O\) krijg je de formule van de parabool \(y = \frac{1}{p \cdot c} x^2\).

In dit geval met \(p \approx 1\) is de formule van de parabool van de lichtkegel van de zaklamp \(y= \frac{1}{16} x^2\).

Manier 2 (vanuit de parabool op de muur): Als je de lamp precies met de onderkant van de (cirkel)rand van de koker waaruit het licht komt in punt \(D\) houdt, en ervoor zorgt dat de lichtschaduw precies in het eindpunt \(A\) van de schuine rand van driehoek \(DAK\) op het papier (de muur) komt, dan is de lichtschaduw van de lamp op het papier precies een parabool. Zie foto 4. Trek deze parabool met potlood over en teken er ook de lijn \(y=x\) bij. Meet met top \(A = O\) van een assenstelsel door de top, de coördinaten van het snijpunt van de lijn \(y=x\) en de getekende parabool. Zie foto 5. Er geldt in ons geval \(y=x=16 \ cm\). Met de formule \(y=a \cdot x^2 \) krijg je nu \( 16=a \cdot 16^2 \) dus \(a=\frac{1}{16}\) en  \(y=\frac{1}{16} x^2\).

Met dank aan Agnes Verwey.