De paradox van de Jager en de Aap

In vorige blogs vertelde Rob van Oord verschilde keren over mooie eigenschappen van parabolen. Hierbij een blog waarbij een parabool een rol speelt.

Een jager wil een aap uit een boom schieten. Op het moment dat de jager schiet laat de aap zich uit de boom vallen. Wordt de aap dan nog geraakt? Of gaat de kogel over de aap heen?
We kunnen het uitrekenen.

Voor de kogel geldt:

\begin{array}{l l l}
y_1&=& v_0\sin(\alpha) t – \frac{1}{2}gt^2\\
x_1&=& v_0\cos(\alpha)t.\\
\end{array}

Voor de aap geldt:

\begin{array}{l l l}
y_2&=&H_0-\frac{1}{2}gt^2\\
x_2&=& a.\\
\end{array}

Als de kogel en de aap elkaar raken geldt:

\[
v_0\cos(\alpha)t=a
\]

Ofwel het tijdstip \(t\) waarop ze elkaar raken is: \( t_s=\frac{a}{v_0\cos(\alpha)}\).

Dan is
\begin{array}{l l l}
y_1&=& v_0\sin(\alpha) \frac{a}{v_0\cos(\alpha)} – \frac{1}{2}gt_s^2= a \tan(\alpha)-\frac{1}{2}gt_s^2\\\\
y_2&=&H_0-\frac{1}{2}gt_s^2.\\
\end{array}

De kogel en de aap raken elkaar als \(y_1=y_2\) en dus als \[ H_0=a\tan(\alpha) \].

Dus

\[ \tan(\alpha)=\frac{H_0}{a} \]

Conclusie

Als voor de hoek \(\alpha \) waaronder je kogel afschiet geldt dat \( \tan(\alpha)=\frac{H_0}{a} \) dan raakt wordt de aap altijd door de kogel geraakt. Merk op dat de beginsnelheid \(v_0\) er niet toe doet. Nou ja… als \(v_0\) te klein is moet je wel een gat in de grond maken. Of je moet de volgende ongelijkheid oplossen.
\[H_0-\frac{1}{2}gt_s^2 \geq 0 \]

dus

\[ v_0 \geq \frac{a}{\cos(\alpha)}\sqrt{\frac{g}{2H_0}} \].

Jammer voor de aap…

was getekend
Swier Garst