Wiskunde bij de les – 13 – Betekenisvolle algebra

Ik ben fan van de stukjes die Martin Kindt altijd schrijft. Hij houdt altijd een pleidooi om algebra waar mogelijk in een betekenisvolle context te behandelen. Nu vind ik in de laatste nummers van het jongerentijdschrift Pythagoras een mooie aanleiding om daar ook iets over te schrijven.

Kijk eens naar de volgende rij:   \(2, 4, 3, 1, 2, 4, …\)
Er zit een zelfde regelmaat in als bij :  \(5, 8, 4, 1, 5, 8,  …\)
Of wat te denken bij de rij: \(2, 4, 6, 3, 2, 4, ..\)
In Pythagoras 62-1 staat op pagina 12 en verder een artikel over dit soort rijtjes. Je kunt met algebra bewijzen dat deze rijtjes zich altijd na  keer gaan herhalen.

Om te bewijzen dat de rijtjes inderdaad zich om de 4 herhalen moet je eerst weten wat de “regel” bij de rijtjes is. De eerste twee rijtjes gaan als volgt. Tel het eerste en derde getal bij elkaar en trek het middelste er vanaf. Gegeven drie getallen \(a,\) \(b\) en \(c\), dan is \(d = a + c – b\); hierna volgt \(e = b + d – c = b + (a + c – b) – c = a\) ; vervolgens is \(f = c + e – d = c + a  – (a + c – b) = b\) ; en dan \(g = d + f – e = (a + c – b) + b – a = c\); kortom de rij \(a, b, c, d, e, f, g, …\) is nu \(a, b, c, a + b – c, a, b, c, …\) en de rij herhaalt zich.

Het derde rijtje wordt gevormd door het eerste en derde getal te vermenigvuldigen, en daarna door het tweede getal te delen. Om hier een rij met gehele getallen te krijgen moeten de deelfactoren van \(b\) ergens in \(a\) of \(c\) als deler zitten. Bij \(5, 6, 12, 10, 5, 6, …\) lukt het ook, maar bij \(5, 6, 9, 7½, 5,\) lukt dit niet. Toch herhaalt de rij zich keurig. Met een beetje algebra kun je dit bewijzen. Na het rijtje \(a, b\) en \(c\) komt \(d = \frac{a \cdot c}{b}\); hierna volgt \(e = \frac{b \cdot d}{c} = \frac{b \cdot \frac{a \cdot c}{b}} {c} = \frac{b \cdot a \cdot c}{b \cdot c}=  a\); vervolgens is \(f = \frac{c \cdot e}{d} = \frac{c \cdot a}{\frac{a \cdot c}{b}} =\frac{c \cdot a \cdot b}{a \cdot c}=b \); en dan \(g = \frac{d \cdot f}{e} = \frac{  \frac{a \cdot c}{b} \cdot b}{a} = \frac{a \cdot c \cdot b}{a \cdot b}  = c\), en de rij herhaalt zich.

Een van de mooiste betekenisvolle algebra vond ik ooit bij de Wageningse Methode in het hekkenprobleem. Een boer wil op een driesprong van wegen op elk hoekpunt een scharnierend hek plaatsen zodat elk pad door twee van die hekken kan worden afgesloten, zonder dat de hekken elkaar ergens overlappen. Dit probleem legde ik onlangs de aanwezigen voor die de lezing over mijn boek (hoe maak je leuke wiskundelessen) bijwoonden. Ik leidde het in door eens te beginnen met een hek van \(5\) m in het scharnierpunt tussen de paden van \(12\) m en \(10\) m breed.

Door uitproberen kom je er wel uit. Neem, zoals gezegd, op de hoek tussen de paden van \(10\) m en \(12\) m het eerste hek \(5\) m breed. Dan heb je op de hoek van de paden van \(8\) m en \(10\) m ook een hek van \(5\) m nodig en op de hoek van de paden van \(8\) m en \(12\) m een hek van \(7\) m nodig. Maar bij het scharnieren van de laatste twee hekken overlappen ze \(4\) m op het pad van \(8\) m. Begin je met een hek van \(6\) m breed, dan zijn de andere twee hekken \(4\) m resp. \(6\) m breed. Er is dan overlap van \(2\) m op het pad van \(8\) m. En ja! Bij een starthek van \(7\) m worden de andere twee hekken \(3\) m resp. \(5\) m breed, en die overlappen precies het pad van \(8\) m. Als het nu allemaal niet zo mooi uitkomt dan neem je voor het eerste hek de breedte \(x\). En daar is de algebra. De andere twee hekken hebben dan breedte \(10 – x\) m en \(12 – x\) m. Deze hekken moeten samen 8 m afsluiten. Dit geeft \(10 – x + 12 – x = 8\). Deze vergelijking oplossen geeft \(22 – 2x = 8\), ofwel \(2 x = 14\), dus \( x = 7\) m. Je kunt ook nog anders redeneren: Stel het eerste hek weer \(x\) m breed, dan is het tweede \(10 – x\) , en het derde moet dan \(8 – (10 – x ) = -2 + x = x – 2\) zijn. Dan moet het hek van \(5\) m met dit hek het pad van \(12\) m afsluiten. Er moet dan gelden \( x + x – 2 = 12\). Dit wordt (uiteraard) ook \(2 x = 14\), dus \( x = 7\) m.

Je zou je ook kunnen afvragen of je op een viersprong van paden ook een dergelijke redenering kunt ophangen. Alleen het tekenen van een viersprong met verschillende breedtes van paden is al een probleem. Het lijkt realistischer om een kruising tegen te komen van paden die alle min of meer loodrecht op elkaar staan. Maar dan sluiten de hekken op de scharnierpunten niet de breedte van de paden af, maar moeten ze schuin over het pad heen komen. In het voorbeeld moeten de hekken over het rechter pad van \(8\) m schuin geplaatst worden tussen de scharnierpunten. Hiernaast zie je een voorbeeld met paden van verschillende breedte.

Door uitproberen kom je nooit in de problemen. Noem de onbekende breedte van het starthek \(x\) m breed. Een hek van \(x\) m op de hoek van de paden van \(8\) m en \(12\) m geeft achtereenvolgens hekken van \(8 – x\) en \(6 – (8 – x) = x – 2\). Dan moeten de hekken van \(x – 2\) en \(12 – x\) samen \(10\) m worden. Er geldt \(x – 2 + 12 – x = 10\). Deze vergelijking is waar voor iedere waarde van \(x\), dus ieder hek dat korter is dan \(6\) m is toegestaan. Wat gebeurt er als we twee paden smaller maken. Hiernaast zie je een voorbeeld waar de paden van 6 m en 12 m versmald zijn tot 5 m en 11m breed. Ogenschijnlijk een klein verschil. Maar het blijkt nu onmogelijk om de hekken precies sluitend te krijgen. Immers de vergelijking \(5 – (8 – x) + (11 – x) = 10\) heeft geen oplossing want \(8 \neq 10 \) . Je komt altijd \(2\) m te kort.

In een volgende blog wil ik nog meer voorbeelden laten zien van betekenisvolle algebra.
Wil je een dergelijk verhaal met me delen? Ik hoor het graag. Schrijf je zelf een blog daarover? je bent van harte welkom. Stuur dan een mail naar mij robvanoord@tiscali.nl

Veel plezier met algebra,
Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 14 – Hoe benader je pi?
Vorige blog: Wiskunde bij de les -12- Valentijn
Vorige Valentijn blog: Wiskunde bij de les – 6 – Vliegers en Valentijn
Index: Wiskunde bij de les – Index