14 februari 2022
- Rob van Oord

Wiskunde bij de les – 6 – Vliegers en Valentijn

Ik ben de uitdaging aangegaan. Hoe halen we de eindstreep? Enkele weken geleden kreeg ik een mail van oud-collega Martijn. Op zijn school had een collega per 1 februari ontslag genomen. Hij liet o.a. drie examenklassen achter. Ik wil deze coronageneratie een hart onder de riem steken. Samen naar het examen.

Ik had nog een mail die Martijn in mei gestuurd had, met een vliegerprobleem. Hij had de figuur in GeoGebra gemaakt en vroeg zich af of dit een interessant probleem kon zijn om in de klas mee aan de slag te gaan. Ik ging op onderzoek.

Gegeven is dat de twee kleine vliegers gelijkvormig zijn met de grote en dat de driehoeken \(AEG\) en \(AFG\) gelijkbenig zijn. Hiermee liggen de hoeken van de vliegers vast. Martijn vroeg zich af of de verhouding van de lengte van de zijden van de grote vlieger tot de kleine 9 : 5 zou zijn.

In klas 1 of 2 kun je de hoeken van de vliegers wel berekenen. Uit het gelijkbenig zijn van de driehoeken \(AEG\) en \(AFG\), en de gestrekte hoeken \(AED\), \(AGC\) en \(AFB\), volgt dat de drie stompe hoeken van de vliegers allemaal even groot zijn.

Noem \(\angle BAD = \phi\). Dan is \(\angle BCD = 2\phi\).

In elk van de vliegers geldt nu \(\phi + 3 \cdot 2\phi = 360  ^{\circ}\).

Dus \(\phi = \frac{360 ^{\circ}}{7}  \approx 51,43 ^{\circ}\). De stompe hoeken zijn dan \(\frac{720 ^{\circ}}{7 }  \approx 102,86 ^{\circ}\).

Er zijn ook andere manieren om dit te berekenen. Bijv. door de hoeken van \(\bigtriangleup CEG\) uit te drukken in \(\phi\), en de hoekensomstelling van een driehoek te gebruiken:

\(\angle EGA = \angle AEG = \frac12 (180^{\circ} – \frac12\phi)\)

dus \(\angle EGA = 90 ^{\circ} – \frac14\phi\) en \(\angle CGE = 180^{\circ} – \angle EGA\)

dus \(\angle CGE = 90^{\circ} + \frac14 \phi\) [1] en \(\angle CEG = \frac12\angle DEG = \frac12(180^{\circ} – \angle AEG)\)

dus \(\angle CEG = 45^{\circ} + \frac18\phi\) [2] en \(\angle ECG = \frac12\phi\) [3].

Met [1] , [2] en [3] krijg je \(90^{\circ} + \frac14 \phi + 45^{\circ} + \frac18 \phi + \frac12 \phi = 180^{\circ}\)

dus \(\frac78\phi = 45^{\circ}\),

dus \(\phi = \frac{360^{\circ}}{7}\).

De verhouding van de zijden \(AD : CD\) bereken je bijv. met de hoogtelijn in \(\bigtriangleup AEG\).

Je weet \(\angle EAG = \frac12\phi\). Stel \(AE = 1\).

Dan is \(EG = 2sin(\frac14 \phi)\).

Dan \(ED = EG\) en \(AD : CD = CD : ED\) en \(AD = 1 + 2 sin(\frac14\phi)\),

dus \(CD^2 = AD \cdot ED\) en \(CD = \sqrt{ 2sin(\frac14\phi) \cdot (2sin(\frac14\phi)+1)}\)

zodat \(\frac{AD}{CD} =\frac{ 1+2sin(\frac14 \phi)}{\sqrt {4sin^2 (\frac14 \phi)+2sin(\frac14 \phi)}} \approx 1,802\).

De verhouding van de lengte van de zijden van de grote vlieger tot de kleine is inderdaad bijna 9 : 5.

Vandaag is het Valentijnsdag. Voor 6v wisB is de herkansing van toets SE2. Daarin staat een opgave met de grafiek van

\begin{equation}
\begin{cases}
x=sin(3t)\\
y=1-2cos^2 (2t)
\end{cases}
\end{equation}

met domein \([- \frac13 \pi, \frac13 \pi]\). Zie de figuur hiernaast. Een van de vragen was om de oppervlakte van de ruit in het hart te berekenen. Op internet kun je nog tal van andere formules vinden van hartvormige krommen. Bijv. in Sylvia Wenmackers blog.

Ik grijp elke kans aan om met de klas een feestje te vieren. Ook al ken ik ze net. Omdat ik vandaag, op 14 februari, geen les heb, vierde ik met mijn klassen vorige week al Valentijn. Ik vroeg de leerlingen daarvoor een schaar mee te nemen. Ik gaf elke leerling een strook rood en een strook wit papier met een “baan” erop geprint. Zie de figuur hiernaast. Na het uitknippen van beide banen, dubbelvouwen en inknippen van de drie lijnen (wel ver genoeg), moeten de geknipte (dubbele) stroken om en om gevlochten worden. Het resultaat is dan een geblokt hart. Zie figuur 4 voor het geblokte hart en figuur 5 voor de klas onder aan deze blog. Bij de Blokker zag ik een variatie van deze geblokte harten van vilt met drie gevlochten stroken. Zie figuur 6 onder aan deze blog.

Met een aantal leerlingen uit 6vB maakte ik “de  verstrengelde hartjes” door van twee stroken, een wit en een rood, Möbius banden te plakken, waarbij je de een rechtsom moet draaien, en de ander linksom, voordat je de einden vastplakt. Vervolgens plak je de banden ergens loodrecht op elkaar. Nu moeten beiden banden helemaal doormidden geknipt worden. Het resultaat is best verrassend. En nu gaat de vlieger op naar het volgende feestje: pi-dag op 14 maart.

Figuur 4: twee in elkaar gevlochten stroken maken een hart

 

Figuur 5: klas 6VA1 De Goudse Waarden met hun harten

 

Figuur 6: Blokker hart van vilt

Vorige blog: Wiskunde bij de les – 5 – Vierkant en Cirkel

Volgende blog:  Wiskunde bij de les – 7 – Hoe vier jij PI dag?