9 maart 2022
- Rob van Oord

Wiskunde bij de les – 7 – Hoe vier jij pi-dag?

14 maart komt er aan. In de notatie mm-dd krijg je 03-14. Dit is de reden om die dag een feestje te vieren met de klas. Ik spreek af wie er een mooie taart (pie) wil bakken. Zo kun je ook inwendig genieten van pi. In de wiskundE-brief 905 worden ook een aantal feestelijkheden rondom pi (in Haarlem en Brussel) genoemd.

Op de foto zie je hoe Ik zelf het feest van pi al aan het voorbereiden ben. Voor verschillende jaarlagen en niveaus heb ik materiaal verzameld. Ga je zelf ook iets leuks met je klas doen? Deel dan een reactie met een foto en een korte omschrijving op Facebook/LeraarWiskunde. In een volgende blog komen we er op terug.

Met stoepkrijt of grote krijten laat ik een groepje vanaf de voordeur van de school tot aan het hek veel (1000) decimalen van pi opschrijven. Moeten ze wel eerst ergens die decimalen van internet halen. Een ander groepje gaat met houten blokjes (besteld op internet bij Baker Ross) langs de plint in de gang pi neerzetten. Elk stapeltje heeft de hoogte van de zoveelste decimaal van pi. Ik laat dan een foto maken van het eindresultaat (voor de website van school).

Ik laat leerlingen een centimetermaat meenemen van huis. Daarmee kunnen ze diameter en omtrek meten (in mm) van (20) verschillende ronde voorwerpen.

Ik heb doosjes met snackprikkertjes (en lucifers). De prikkertjes moeten worden geworpen op een patroon van op gelijke aftand getekende evenwijdig lijnen. Met de stelling van Buffon kun je door tellen een benadering van \(\pi\) vinden. Gooi in totaal \(N\) prikkertjes. Tel het aantal prikkertjes \(P\) dat op een van de lijnen gevallen is. Als de afstand tussen de lijnen even groot is als de lengte van een prikkertje, dan is de deling van \(N\), het totaal aantal gegooide prikkertjes, door \(P\), het aantal dat op een lijn gevallen is, gelijk aan \(\frac12 \pi\). Dus \(\pi=\frac{2N}{P}\).

Op de foto liggen 31 van 52 prikkertjes over een van de parallelle lijnen. De benadering van \(\pi\) is hier \(\frac{2 \cdot 51}{31} \approx 3,35\). Dat kan beter. Hoe meer prikkertjes je gooit, des te beter kan de benadering van pi worden, maar het experiment is wel een steekproef met een ongewisse uitkomst.

In 6v wisA kun je met recursie ook mooie benaderingen van pi laten berekenen. Bijvoorbeeld met de recursie van Gauss-Legendre, ook wel het algoritme van Brent-Salamin genoemd:

\(nMin=0\)
\(u(n)=u(n-1) \cdot v(n-1)-2\)
\(u(nMin)=\sqrt{2}\)
\(v(n)=\frac{( v(n-1)+\sqrt{v(n-1)^2-4} )^2}{2}\)
\(v(nMin)=\sqrt{8}\)
\(w(n)=\frac{ (\frac{1}{2})^{n-1} \cdot v(n-1)}{u(n-1)}\)

Dit is een zeer snelle benadering van veel decimalen van pi. Voor 6v wisB kun je in zebraboekje 6 Pi (Frits Beukers) ook leuke benaderingen van pi vinden.

Op 17 augustus 2021 is het voorlopig grootste aantal decimalen van \(\pi\) bekend geworden. Men gebruikte de formule:

\( \frac{1}{\pi}= 12 \sum_{q=0}^{\infty}   \frac{(-1)^q \cdot (6q)! \cdot (545140134 \cdot q + 13591409) }  { (3q)! \cdot (q!)^3 \cdot (640320)^{3q+3/2 } } \)

Dit leverde 62,8 biljoen decimalen van pi op. Hiervoor moest de computer 108 dagen en 9 uur rekenen.

Archimedes kon al een goede benadering vinden van pi door de cirkelomtrek, (met straal 1) te benaderen met ingeschreven regelmatige veelhoeken die de hoekpunten op de cirkel hebben en veelhoeken die aan de buitenkant aan de cirkel raken. Hij begon met een regelmatige zeshoek, daarna verdubbelde hij steeds het aantal zijden. Hij vond bij een regelmatige 96-hoek, dat pi tussen 232/71 en 22/7 zit.

Het algoritme van Borchardt-Pfaff is een verfijnde manier van de benadering van Archimedes. \(a_n \) en \( b_n\) zijn respectievelijk de halve omtrek van de ingeschreven en de halve omtrek van de omgeschreven veelhoek met \( k \) zijden waarbij \( k=6 \cdot 2^n \) met \( n=0, 1, 2, 3, …\) zodat \(k=6, 12, 24, 48, … \). Voer nu de volgende stappen uit:

\(a_0 = 3 \)
\(b_0 = 2 \sqrt{3} \)
\(b_n = \frac{2 a_{n-1} b_{n-1}}{ a_{n-1}+ b_{n-1}} \)
\(a_n = \sqrt{ a_{n-1} \cdot b_n } \)

Dit geeft voor de twaalfhoek \(n=1\)  met \(k=12\) dat \(a_1 \approx 3,1058\) en dat \(b_1 \approx 3,2154\). De volgende stap is de vierentwintighoek. Voor \(n=2\) is \(k=24\) met \(a_2 \approx 3,1326 \) en met \(b_2 \approx 3,1597 \). De derde stap geeft de achtenveertighoek. Voor \(n=3\) is \(k=48\) met \(a_3 \approx 3,13935 \) en met \(b_3 \approx 3,14609\), enzovoorts. Kortom, genoeg manieren om met je klas een feestje te vieren, en dan nog met wiskundige activiteiten.

Hieronder wordt de decimale ontwikkeling na 1000 decimalen afgekapt. Dat zijn er heel wat meer dan de grafische rekenmachine kan produceren.

3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 …

bron: wikipedia

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 8 – Spiegelen en symmetrie
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 6 – Vliegers en Valentijn
Index: Alle Wiskunde bij de les