Wiskunde bij de les – 5 – Vierkant en cirkel

In Euclides 96-7 staat in ‘Kort vooraf’ iets over de Olympische ringen. In de digitale versie, staat een link naar de ‘preview’ van mijn artikel over de constructie van die ringen.
Je kon daar een ook een werkblad downloaden met de ringen om in te kleuren. Ik ben benieuwd of er nog collega’s mee aan de slag gegaan zijn. Met de winterspelen in Peking op komst opnieuw een leuk uitje voor de klas? Ik schrijf over hoe de ringen door vierkanten aan elkaar gekoppeld zijn.

Bij de Vitruviusman worden ook een vierkant en een cirkel gekoppeld. Het is nog niet eenvoudig om te achterhalen hoe dat zit. Leonardo da Vinci maakte uitgebreid studie van de verhoudingen van allerlei delen van een (mannelijk) lichaam. In Wikipedia kun je een lijst vinden met de vertaalde woorden, die hij overigens in spiegelschrift (een soort geheimzinnig) erbij had geschreven. De spanwijdte van de armen is gelijk aan de lengte van de man (=1). Het middelpunt van het vierkant is de plek waar de genitaliën zitten. De navel is het middelpunt van de cirkel. Maar nergens kun je zo gauw vinden hoe groot de afstand tussen navel en dat g-punt is. Er staat wel dat als je de benen gespreid, met aan de binnenkant een gelijkzijdige driehoek, op de cirkel zet, dat dan de lengte \(\frac{1}{14}\) korter is. Maar als je niet weet waar het scharnierpunt van de benen zit, dan kun je het middelpunt van de cirkel nog niet berekenen.

Ik vroeg Agnes Verweij of zij een manier zag om de cirkel te tekenen. Natuurlijk is die gemakkelijk te vinden als je de plek van de navel weet. Maar zij stelde om aan te nemen dat de armen scharnieren om het kuiltje Onderin de nek. Hierna zie je een berekening dat dat dan \(\frac{23}{120}\) van boven is. Daarmee vind je dan de punten op de bovenkant van het vierkant waar de cirkel doorheen gaat. Samen met het midden van de onderkant van het vierkant liggen straal en middelpunt van de (zwarte) cirkel dan vast. Zie de linker figuur.

Mijn vrouw wist echter te melden dat in De biografie van Leonardo da Vinci door Walter Isaacson (Spectrum 2017) op pagina 245 staat: “Van de navel tot de geslachtsdelen is de lengte van het gezicht.” Ik ga ervan uit dat met het gezicht de afstand van haargrens tot onderkant kin wordt bedoeld. Die is \(\frac{1}{10}\). Daarmee kun je eenvoudig de (rode) cirkel tekenen met middelpunt op 0,6 van onder. Zie middelste figuur.
In een artikel van Chris Impens kun je lezen hoe hij uit de gegevens het middelpunt berekent. Hij gaat ervanuit dat de armen scharnieren op een punt op \(\frac{1}{8}\) van het midden op de horizontale lijn door Onderin nek. Met de gegevens Onderin nek tot haargrens \(\frac{1}{6}\) , Haargrens tot onderkant kin \(\frac{1}{10}\) (gezicht) , Kruin tot onderkant kin \(\frac{1}{8}\) (hoofd), kun je berekenen dat Kruin tot Onderin nek \( =\frac{1}{8}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}=\frac{23}{120}\). Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de straal van de (roze) cirkel berekenen.

Noem de straal van de (roze) cirkel \( x\), dan geldt \( x^2 = (1-x)^2+\left(\frac{1}{8} + \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 – \left(\frac{23}{129}\right)^2 }\right)^2 \) .

Dit geeft \( x = 0,60005.\) Dit is vrijwel gelijk aan de eerder berekende straal van de rode cirkel. Volgens mij rekent Chris met Kruin tot Onderin nek \(\frac{1}{6}\) . Daarmee vindt hij de, volgens mij foute, straal 0,60622. In het tekenprogramma zie ik geen verschil tussen de rode en de roze cirkel. Probleem opgelost.

Originele afbeeldingen van Leonardo da Vinci zijn op internet te vinden.

Vorige blog: Wiskunde bij de les – 4 – Hoekensom
Volgende blog: Wiskunde bij de les – 6 – Vliegers en Valentijn
Index: Alle Wiskunde bij de les