Wiskunde bij de les – 11 – De stelling van Pythagoras

De stelling van Pythagoras is voor veel mensen in Nederland de meest bekende, misschien wel de enige stelling die men kent. Er zijn meer dan 100 bewijzen ervan bekend. In deze blog wil ik pleiten voor een aanpak waarbij geknipt en geplakt moet worden om de stelling beter te begrijpen.

In mijn gastlessen op de HvA, dit jaar en vorig jaar, laat ik de studenten twee gehele getallen a en b kiezen tussen 4 en 16 met \(a > b\) en \(b< 11\), bijvoorbeeld \(a = 10\) en \(b = 7\) voor de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek. Met deze keuzemogelijkheid krijg je driehoeken die (straks) een goed beeld geven waarmee de stelling begrepen (en bewezen) kan worden. Ik werkte in groepjes van vier. In het groepje mocht niet twee keer een zelfde tweetal getallen gekozen worden. Ze moeten dan vanuit een hoekpunt van een twee keer dubbelgevouwen (gekleurd) A4’tje op de randen deze lengten, in cm, afpassen.

Vervolgens moet een schuine lijn met lengte \(c\) getekend worden tussen de afgepaste punten. In de hoek staat nu een (blauwe) rechthoekige driehoek met zijden \(a\), \(b\) en \(c\). Zie figuur. De lengte van de schuine zijde \(c\) moet in mm gemeten worden. In elk groepje moet nu een tabel gemaakt worden van \(a\), \(b\) en \(c\), met daarachter \(a^2\), \(b^2\) en \(c^2\) waarbij \(c^2\) afgerond op een geheel getal cm²).

Naam:	\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(a^2\)	\(b^2\)	\(c^2\) in hele cm²
.
.
.

Voor een eerste idee van wat er aan de hand is moeten ze een verband zien te ontdekken met die getallen. Er blijkt al gauw (misschien met wat hulp) dat \(c^2 = a^2 + b^2\). Na deze ontdekking gaan we verder met de meetkundige aanpak. Vanuit het diametrale hoekpunt moeten nogmaals dezelfde lengten worden afgepast en de schuine lijn getekend worden. Zie figuur.

Nu moet langs beide schuine lijnen het papier geknipt worden. Aan de ene kant krijg je dan vier losse gelijke driehoeken. Aan de andere kant krijg je ook de zelfde vier gelijke driehoeken, die nog losgeknipt moeten worden. Er zijn nu acht gelijke driehoeken. Vier van deze driehoeken moeten op ruitjespapier gelegd worden zodat er een vierkant ontstaat met een gat erin. De zijde van dit (grote) vierkant moet \(a+b\) zijn. Zie figuur. Laat op ruitjes nogmaals een vierkant tekenen met zijde \(a+b\). Hier komt het voordeel van gekozen gehele getallen tot uiting. Daarin moeten de andere vier driehoekjes gelegd worden zodat er (“gaten” van) twee vierkanten ontstaan. Een voorbeeld staat in de figuur. Dit blijkt lastig voor de studenten om zelf te vinden. Waarschijnlijk omdat ik in de gastles niet eerst de contouren van het grote vierkant liet tekenen.

Vanuit deze twee gelegde patronen ontstaat een visueel bewijs van de stelling. Het gat in het bovenste vierkant moet even groot zijn als de twee “gaten” samen in het onderste vierkant, omdat in beide grote vierkanten ook 4 gelijke driehoeken zitten. Meteen hierna kun je ook een bewijs van de stelling met algebra geven. Aan de ene kant is de oppervlakte van het grote vierkant \(c^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), en aan de andere kant is dat \(a^2+b^2+4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\). Een variant hierop kun je aflezen uit het derde plaatje. Probeer zelf de vergelijking bij deze figuur op te schrijven waar het bewijs uit volgt.

Omdat het leggen van de vier driehoeken op het grote vierkant met twee vierkante “gaten” niet direct duidelijk is heb ik voor de studiedag van de NVvW gekozen voor een andere benadering. Ik ben in dit geval uitgegaan van het grote vierkant met zijden \(z=a+b\). Zorg voor drie even grote vierkanten. Zet op de randen van een ervan vier keer een lengte \(a\) waarbij \(a < \frac{1}{2}z\) af (rood), telkens vanuit het volgende hoekpunt een kwart slag gedraaid.
De lengte van het andere stuk (blauw) noemen we \(b\). Teken de schuine zijden van de 4 driehoeken met rechthoekszijden \(a\) en \(b\). Noem de lengte van de schuine zijde \(c\). Ga na dat er in het grote vierkant nu een kleiner vierkant staat met zijde \(c\). Pas nogmaals dezelfde lengte \(a\) 4 keer af op een tweede (even groot) vierkant en teken de schuine zijden erbij. Knip van een van de grote vierkanten de vier rechthoekige driehoeken af. Teken aan de bovenrand binnen het (overgebleven) vierkant met zijde \(c\) een zo’n rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) (of vouw van het tweede grote vierkant een van de getekende driehoeken om) en leg het (derde) grote vierkant erop met een hoekpunt precies in die driehoek. Zie figuur. Leg de afgeknipte driehoeken op het grote vierkant zodat er daarnaast ook twee kleinere vierkanten ontstaan. Dit kan op verschillende manieren. Probeer het zelf maar eens. Denk weer terug aan de oorspronkelijke situatie. In het grote vierkant kun je dus op meer manieren de vier (grijze) driehoeken leggen. In eerste instantie bleef er een vierkant (groen) met zijde \(c\) over. In de tweede situatie bleven er twee vierkanten (rood en blauw) over met zijde \(a\) en zijde \(b\). Bijvoorbeeld zoals in de laatste figuur te zien is.

Welke conclusie kun je trekken? Hoe kun je hieruit de stelling van Pythagoras onder woorden brengen? Dit kan in termen van oppervlakte gedaan worden, maar ook In termen van zijden van een rechthoekige driehoek.

Een mooie variant voor een bewijs van de stelling, waarbij meetkunde en algebra gecombineerd worden vind je bij de figuur hiernaast. In de rechthoekige driehoek \(\triangle ABC\) met zijden \(a\), \(b\) en \(c\) is een hoogtelijn \(CD\) getekend. Met “rondje plus kruisje is negentig graden” zijn \(\triangle ABC\), \(\triangle ACD\) en \(\triangle CBD\) gelijkvormig (hoek-hoek-rechte hoek). Stel \(AD = p\), dan is \(BD = c – p\).
Daaruit volgt: \(\frac{AC}{BC} = \frac{AD}{CD}\) ofwel \(\frac{b}{c} = \frac{p}{b}\), en ook \(\frac{BC}{AB} = \frac{BD}{CB}\) ofwel \(\frac{a}{c} = \frac{c-p}{a}\).
Beide breuken omschrijven geeft \(b^2 = p \cdot c\) en \(a^2 = c(c – p) = c^2 – p \cdot c\).
Tel de linker vergelijking op bij de rechter en je krijgt: \(a^2 + b^2 = c^2 – pc + pc = c^2\).

Er zijn nog veel meer manieren om de stelling van Pythagoras te bewijzen.
Zowel op een meetkundige manier als op een algebraïsche manier.
Weet jij er nog meer?
Welke vind je het mooist?

Ik ben erg benieuwd naar andere creatieve plak-en-knip bewijzen. Stuur een foto of een uitwerking naar mijn mailadres. De meest originele kan een idee zijn voor een volgende blog. robvanoord@tiscali.nl

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 12 – Valentijn
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 10 – Anamorfosen
Index: Wiskunde bij de les – Index