Wiskunde bij de les – 37 – De parabool (6)

Onlangs kreeg ik een stukje dat Swier Garst (bekend van onder meer Zebra 49 Een verkenning van krommen, Zebra 58 Besmettelijke Ziekten en  Zebra 73 Complexe Getallen) schreef over een eigenschap bij parabolen. Dat bracht mij op een idee om met een touwtje met een vaste lengte een parabool te tekenen. Dat gaat als volgt.

Neem een touwtje van 20 cm. Prik het ene uiteinde op 10 cm van de onderrand (F). Breng het andere uiteinde b.v. d.m.v. een metalen ring naar de onderrand (W). Trek nu het touwtje met een potlood strak, waarbij je ervoor zorgt dat het vanaf de onderrand loodrecht omhoog gaat. Beweeg het potlood over het papier terwijl je het touwtje strak houdt en ervoor zorgt dat het losse eind steeds op de onderrand zit, en dat het touwtje vandaar af steeds loodrecht vanaf de onderrand omhoog gaat. Zie foto’s. Het is duidelijk dat je de top (T) van de parabool krijgt als het touwtje precies door het prikpunt gaat. Het ligt dan 5 cm dubbel vanaf dat punt omhoog. De richtlijn ligt dan 5 cm boven de top. Dat is precies op 20 cm vanaf de onderrand.

Je ziet ook twee mooie punten (Q en R) als je het touwtje precies 10 cm horizontaal trekt aan een van beide kanten van het prikpunt. Zie figuur. De afstanden van Q (en R) tot F (10 cm) zijn gelijk aan de afstand van Q (en R) tot de (richt)lijn AV (ook 10 cm).

Nu nog bewijzen dat alle punten waar het potlood langs gaat ook op die parabool liggen. De afstand van zo’n punt \(P\) tot het brandpunt \(F\) moet dan gelijk zijn als de afstand van dat punt \(P\) tot de richtlijn \(AV\). Dat is goed in te zien als je de loodlijn \(PW\) naar de onderrand naar boven door trekt naar een punt \(V\) op de richtlijn. Noem de afstand van zo’n punt \(P\) tot het brandpunt a met \(PF = \) a. Dan geldt dat \(PW = 20 – \) a. Immers de lengte van het touwtje is \(FP + PW = 20\) cm. De richtlijn \(AV\) ligt \(20\) cm boven de onderrand. \(PV = 20 – PW = 20 – ( 20 – \) a\() = \) a. Nu geldt dat \(PV = PF\) want beide zijn a, de afstand van \(P\) tot lijn \(AV\) is gelijk aan de afstand van \(P\) tot \(F\).
\(P\) ligt dus op een parabool met brandpunt \(F\) en richtlijn \(AV\). Met een assenstelsel door top \(T\) en eenheid in dm wordt de vergelijking van deze parabool \(y = – \frac{1}{2} x^2 \). Je kunt zelf gaan onderzoeken wat er gebeurt als je punt \(F\) op een andere afstand van de onderrand prikt, en ook als je een andere lengte van het touwtje neemt.