Wiskunde bij de les – 16 – Betekenisvolle algebra (3)

Jullie wel bekend is de rij van Fibonacci:  \(1, 1, 2, 3, 5, 8, …\) waarbij de volgende term de som is van de twee voorgaande termen. Hierachter zit het idee dat een nieuw vrouwtje bij konijnen de eerste maand nog geen nakomelingen voortbrengt, maar in elke daaropvolgende maand één nieuw vrouwtje als nakomeling heeft. In de praktijk zal dat wel meer zijn, neem dan maar een ander dier waarbij dit wel opgaat. Schematisch weergeven van deze rij is best lastig. Je moet dus een redenering zoeken die goed omschrijft hoe je aan het volgende getal in de rij komt. De eerstvolgende term is de optelling van de twee voorafgaande termen. Probeer dat maar eens uit te leggen bij het voorbeeld van de konijnen.

Een andere verschijning van deze rij is bij het springen over een riviertje met stapstenen erin, waarbij je ofwel naar de eerstvolgende steen springt of er eentje overslaat. De rij geeft het aantal mogelijke oversteken bij het aantal stapstenen dat er ligt. Geen steen? Dan 1 mogelijkheid: in 1 keer erover springen. 1 steen, dan of (weer) in 1 keer overspringen of met gebruikmaking van de steen. Als tussen de oevers van de rivier op ongeveer gelijke afstanden zeven stapstenen liggen dan zijn er 34 verschillende manieren om op die manier van de ene oever naar de andere te springen. De eerste 1 van de rij zal dan ontbreken. Ik liet dit wel eens uitzoeken door brugklassers door (gevouwen) kikkers de sprongen te laten maken (zak met “steentjes”, bijv. fiches, meenemen). Welk groepje het eerst het juiste aantal sprongen heeft krijgt wat lekkers. Probeer  op een handig telsysteem te laten uitkomen.

Er is ook een directe formule voor de termen in de rij: \(f_n=\frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \cdot \sqrt{5}}\)

Best aardig om dit eens met een derde of vierde klas te onderzoeken. \(f_1=\frac{(1+\sqrt{5}) -(1-\sqrt{5}) }{2 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5} }{2  \sqrt{5}} = 1\)

Bij \(f_2\) kun je voor de teller ook mooi het nut van de vroeger zo bekende “merkwaardige producten” laten zien. In plaats van het uitwerken van de haakjes krijg je met \(a^2-b^2 = (a + b)(a – b) \) bij \(f_2\) in de teller \(  (1+\sqrt{5}+1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5}-(1-\sqrt{5})) = 2 \cdot 2 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}\). Nu wordt \(f_2 = \frac{4 \sqrt{5} }{4  \sqrt{5}}  = 1\). Maar voor \(f_3\) wordt het serieuzer.

Voor een vijfde of zesde klas kun je bewijzen met inductie introduceren. Neem als mooi voorbeeld de formule van de driehoeksgetallen (zie hierna). Je moet voor de rij van Fibonacci aantonen dat \(f_{n-1}+f_{n}=f_{n+1}\). Daar gaat ie dan. Noemers gelijk maken en overal de machten met exponent \(^{n-1} \) apart schrijven. Vervolgens gelijke machten bij elkaar nemen:

Nu maar hopen dat \(3+\sqrt{5}\) en \(3–\sqrt{5}\) als macht van \(1+\sqrt{5}\) resp. \(1–\sqrt{5}\) geschreven kunnen worden. Ook moet de noemer \(2^n \sqrt{5}\) nog verdubbeld worden tot \(2^{n+1} \sqrt{5}\) . We proberen gewoon een deling door \(1+\sqrt{5}\) resp. \(1–\sqrt{5}\). Nu komt de zogeheten “worteltruc”. Een foto hiervan staat op de kaft van mijn boek Wiskunde bij de les. \((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\). Herleid de uitdrukking \( \frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}} \) tot \( \frac{(3+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} \) en dan tot \(\frac{3+\sqrt{5}-3 \cdot \sqrt{5} -5}{1-5}\)  \(= \frac{-2 -2 \cdot \sqrt{5}}{-4}\) \(= \frac{1}{2} (1+\sqrt{5}) \). Aangetoond is nu dat \( \frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}= \frac{1}{2} (1+\sqrt{5}) \). Hoera, je kunt \( 3+\sqrt{5} \) dus schrijven als \(= \frac{1}{2} (1+\sqrt{5})^2 \). Daarmee wordt \((3+\sqrt{5}) \cdot (1+\sqrt{5})^{n-1} \) gelijk aan \(= \frac{1}{2} (1+\sqrt{5})^{n+1} \). Ga zelf na dat op dezelfde manier \((3 – \sqrt{5})(1–\sqrt{5})^{n-1}\) gelijk is aan \(\frac{1}{2}(1–\sqrt{5})^{n+1} \). Vul het resultaat in bij (1), haal nog \(\frac{1}{2}\) buiten haakjes zodat de noemer nog een factor \(2\) erbij krijgt, en klaar. Je hebt \(f_{n-1} + f_n \) omgeschreven naar \( f_{n+1} \).

Als voorbeeld voor een bewijs met inductie kun je de formule van de driehoeksgetallen nemen.

Laat de klas de formule eerst afleiden uit bijvoorbeeld stippenpatronen. Zie hierboven. \(u_1 = 1\), \(u_2 = 1+2=3\), \(u_3 = 1+2+3=6\), dus \(u_n = u_{n-1} + n\); voor \(u_n\) geldt de formule \(u_n = \frac{1}{2} n(n+1)\). Dit klopt voor \(n=1\): \(u_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 =1\), en bij \(n=2\): \(u_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3=3\), enzovoorts.

Om te bewijzen dat de formule klopt moet je met inductie aantonen dat \(u_{n+1} = u_n + n+1\). Daar komt ie. Je moet laten zien dat \(u_n + n+1\) gelijk is aan \(\frac{1}{2} (n+1)(n+2)\). \( \frac{1}{2} n(n+1) + n+1 = \) \(\frac{1}{2}n^2 + 1 \frac{1}{2}n + 1 = \) \(\frac{1}{2}(n^2 + 3n + 2) = \)   \( \frac{1}{2}(n+1)(n+2)\). Het nut van de algebra! Je kunt ook \((n+1)\) buiten haakjes halen. Dat is nog meer algebra! \(\frac{1}{2}n(n+1) + n+1 =\) \( (n+1)(\frac{1}{2}n+1) \)\( =(n+1)\frac{1}{2}(n+2)\)\( =\frac{1}{2}(n+1)(n+2)\).

Deze blog begon met een kikkersprong over en rivier met een zeker aantal stapstenen. Je kunt een brugklas blauwe vellen papier geven voor de rivier en een zakje met stenen. Een beginopstelling is bijvoorbeeld zeven stenen. Ik ben benieuwd bij wie in de klas er leerlingen zijn die het probleem terugbrengen tot een kleiner aantal stenen. Leerlingen die met nul, één, twee stenen beginnen en dan een algemene regelmaat ontdekken, zijn rijp voor het idee van volledige inductie. Heb je mooie actiefoto’s en wil je die met ons delen? Stuur dan een mail met foto’s naar mij robvanoord@tiscali.nl
Heb je ook en leuk lesidee? Stuur dan ook een mail naar mij. Samen kunnen we er een blog van maken.

Veel plezier met algebra,
Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 17 – Betekenisvolle algebra (4)
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 15 – Betekenisvolle algebra (2)
Index: Wiskunde bij de les – Index