Wiskunde bij de les – 15 – Betekenisvolle algebra (2)

Niet zo lang geleden kwam vriend Marco bij ons op bezoek. Hij legde mij een probleem voor waarin een truc zit die altijd op hetzelfde antwoord uitkomt. Daar moet een wiskundige verklaring voor zijn dacht ik. Het verhaal heb ik aangepast. Een van mijn vrienden is net 40 geworden. Hij heeft een probleem. Hij zou graag nog eens lekker chillen. Maar veel van zijn vrienden haken af. Hij vroeg aan zijn therapeut of hij een oplossing weet. Wat moet hij doen?
Tsja eens even denken, het gaat om een verkoeling van de relatie. Als je nu dat woord eens opschrijft met daaronder de cijfers 1 t/m 9 en dan nog een 0.

Kies nu uit 0 t/m 9 drie verschillende cijfers. Maak een getal van drie cijfers waarbij je de cijfers die je koos van groot naar klein achter elkaar zet. Bijvoorbeeld: de gekozen cijfers \(5\), \(8\) en \(2\) wordt het getal \(852\). Trek het getal van drie cijfers met de omgekeerde volgorde er vanaf: in dit voorbeeld dus \(852 – 258 = 594\). Tel bij dit laatste getal het daarvan omgekeerde erbij op. Dus \(594 + 495 = 1089\). Vermenigvuldig dit getal met je leeftijd: \(40 \times 1089 = 43560\).
Maak nu het woord met de letters die bij de cijfers van je antwoord horen. Ja? Ga met je vrienden naar de …. .
Nu blijkt dat ongeacht de keuze van de drie cijfers na de optelling er altijd \(1089\) uitkomt. Dit intrigeerde mij en dus zocht ik naar de verklaring. Wil je dit zelf uitzoeken? Of lees de verklaring die ik heb gemaakt.

Stel je hebt de cijfers \(a\), \(b\) en \(c\) gekozen zodat \(a > b > c\). Dan is het eerste getal \(abc\). Het getal \(cba\) moet daar vanaf getrokken worden. Op de klassieke manier begin ik rechts. Maar omdat \(a > c\) moet je \(1\) van de \(b\) bijhalen, dus het derde cijfer van de aftrekking wordt \(c + 10 – a\). Omdat het middelste cijfer nu \(1\) lager is (merk op dat het middelste cijfer nooit \(0\) kan zijn), moet nu ook \(1\) (van de \(a\)) bijgehaald worden. Het middelste cijfer van de aftrekking is dus \(b – 1 + 10 – b = 9\) en het eerste cijfer van de aftrekking is dan \(a – 1 – c\). Dit levert altijd een cijfer \(> 1\) op omdat \(c\) altijd \(2\) of meer kleiner is dan \(a\). Het antwoord van de aftrekking is nu \([a – 1 – c] [9] [c + 10 – a]\). Vervolgens moet het omgekeerde van de aftrekking hierbij worden opgeteld. Je krijgt dan \([a – 1 – c + c + 10 – a] [9+9] [c + 10 – a + a – 1 – c] = [9] [9+9] [9]\). Omdat \(9 + 9 = 18\) wordt het eerste cijfer \(1\) hoger, dus antwoord \([10] [8] [9] = 1089\).

Er zijn meer van dit soort trucjes waarbij je van te voren weet wat het antwoord is. Je kunt dan bijvoorbeeld iemands leeftijd of geboortejaar tevoorschijn toveren. Mij lijkt het een uitdaging om met de klas vervolgens de verklaring van dit soort trucjes te zoeken. Betekenisvolle algebra, toch?

Marjan laat de klas wel eens de volgende berekeningen uitvoeren:
\(10 \times 10 – 15 \times 25\), \(20 \times 20 – 15 \times 25\), \(30 \times 30 – 25 \times 35\), en laat ze voorspellen wat er uit \(100 \times 100 – 95 \times 105\) komt.
Vaak ligt achter een trucje dat een verrassend antwoord oplevert een eenvoudige oplossing. Vertalen van de truc in algebra geeft de verklaring. In dit geval kom je uit op \(a^2 – (a – 5)(a + 5) = a^2 – (a^2 – 25) = 25\).

In een volgende blog wil ik nog meer voorbeelden laten zien van betekenisvolle algebra. Wil je een dergelijk verhaal met me delen? Ik hoor het graag. Schrijf je zelf een blog daarover? Of zal ik het meenemen? Stuur dan een mail naar mij robvanoord@tiscali.nl

Veel plezier met algebra,
Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les -16
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 14 – Hoe benader je pi?
Index: Wiskunde bij de les – Index