18 augustus 2026 - Henk Hietbrink Sawyer Beren-Hekken Het Wereld Wiskunde Fonds verkoopt de leukste boeken op hun veiling. Nu loopt er een verkoop tegen vaste prijzen. In september starten we weer met een veiling. Wat dacht je van Aanschouwelijke Algebra van W.W. Sawyer? Als veilingmeester kom ik soms boekjes tegen die niet de schoonheidsprijs winnen, maar wel een mooie binnenkant hebben, een mooi karakter zeg maar. Een stukgelezen pocket van Sawyer ziet er niet uit, maar verdient een tweede leven. Binnenkort verschijnt het op de veiling. Ik vind er interessante opdrachten om een les over haakjes wegwerken en schrijven met haakjes op een zinnige manier op te vrolijken. Vorige blog: Soort van Getallen Volgende blog: Vader en Kind Context De context van dit verhaaltje over hekken en beren moet je niet al te serieus nemen want de intelligentie van beren wordt schromelijk onderschat. Wat overblijft is zinnige algebra met aardige onderzoeksopdrachten. Driehoekig stukje land Een boer (m/v) heeft een driehoekig stukje land en slaat palen op de drie hoekpunten \(A\), \(B\) en \(C\). Zoals in onderstaande tekening is aangegeven zijn de lengtes van de zijden \(AB = 16\), \(BC=20\) en \(AC=24\). De boer (m/v) wil aan elke paal een hek hangen. Als de beren uit het noordwesten verschijnen, dus aan de kant van zijde \(AB\), dan wil de boer (m/v) de hekken draaien naar de zijde \(AB\) zodat zijde \(AB\) gesloten is. Dat wil zeggen als de lengte van het hek aan \(A\) gelijk is aan de afstand \(AL\) en de lengte van het hek aan \(B\) gelijk is aan de afstand \(BL\), dan is de totale lengte \(16\) en dus is zijde \(AB\) gesloten. Wanneer de beren uit het noordoosten verschijnen dan moet de som van de lengtes van de hekken aan de paal bij \(B\) en de paal bij \(C\) gelijk zijn aan \(20\). Evenzo, wanneer de beren uit het zuiden komen, dan moet de som van de lengtes van de hekken aan de palen \(A\) en \(C\) samen \(24\) zijn. Gevraagd wordt om uit te zoeken hoe lang de drie hekken moeten zijn. Niet zo slimme beren Sawyer’s boer (m/v) gaat er gemakshalve van uit dat de beren altijd samen vanuit één richting komen dwars op het hek. Dat komt dan goed uit. Didactiek Als docent vond Sawyer het prima om eerst maar eens wat te proberen, om daarna een tabel te maken en het nog een paar keer te proberen. Hij schrijft dat het opstellen van zo een tabel heel leerzaam is en voor de meeste kinderen de eenvoudigste en meest overtuigende manier zijn om dit probleem op te lossen. Sawyer laat zien dat je met de introductie van onbekende lengte \(x\), algebraïsch tot een oplossing kan komen. Sawyer schrijft vervolgens dat kinderen soms vast houden aan de methode van proberen, omdat het geen nieuw begrip inhoudt, ofschoon het wel weer werk vraagt. Het heeft geen zin, zo schrijft Sawyer, hen te dwingen algebra toe te passen door te zeggen dat het vraagstuk opgelost moet worden met \(x\). Als het begrip \(x\) vroegtijdig en op een handige manier wordt ingevoerd bij kinderen, dan zullen ze vertrouwd worden met \(x\) en er trots op gaan dat ze er gebruik van kunnen maken. Het doel van Sawyer is om de algebra van haakjes wegwerken bij te brengen. Sawyer geeft zijn uitwerking. Noem \(AL=x\), dan \(BL=16-x\), vervolgens \(BM=BL=16-x\), dan \(CM=20-BM\)\(=20-(16-x)\)\(=4+x\), vervolgens \(CN=CM=4+x\) en tot slot \(AN=24-CN=24-(4+x)=20-x\) en \(AN=AL\) dus \(20-x=x\), oftewel \(20=2x\) dus \(x=10\). Driehoeksongelijkheid In plaats van een driehoek met lengtes van de zijden \(16\), \(20\) en \(24\), kunnen vele andere getallenvoorbeelden genomen worden. Niet ieder voorbeeld gaat werken, want in een driehoek moet de driehoeksongelijkheid gelden: de lengte van de langste zijde moet korter zijn dan de som van de twee kortere zijden. Vierhoek In plaats van een driehoek kan een vierhoek genomen worden. Leerlingen gaan ontdekken dat je bij sommige vierhoeken wel hekken kunt plaatsen en bij andere niet. Dan blijkt dat niet zo maar willekeurige lengtes voor de zijden gekozen mogen worden. Dat blijkt vanzelf uit de algebra want de \(x\) valt uit de vergelijking en alleen getallen blijven over. De vergelijking geeft dus géén oplossing. Noem \(AP=x\), dan \(BP=10-x\) en \(CQ=12-(10-x)=2+x=CR\) en \(RD=10-(2+x)=8-x=SD\) zodat \(AT=16-(8-x)=8+x\). Maar nu is er een probleem want \(AT=x\) en \(SD=8-x\) en samen \(AT+SD=8\) en dat is geen \(16\). Er is dus een gat aan zijde \(AD\). Conclusie is dat het bij dit vierhoekige stukje land niet mogelijk is om berenwerende hekken te plaatsen op de manier die de boer (m/v) wenst. Tegenspraak In de vorige tekening zijn op zijde \(AD\) de twee punten \(S\) en \(T\) gezet om het gat te duiden. Wanneer alleen punt \(S\) gezet was, zou de algebra anders verlopen. Noem weer \(AP=x\), dan \(BP=10-x\) en \(CQ=12-(10-x)=2+x=CR\) en \(RD=10-(2+x)=8-x=SD\) zodat \(AS=16-(8-x)=8+x\). Maar nu is er een probleem want \(AS=AP=x\) en \(AS=16-SD=8+x\). Er is dus een tegenstrijdigheid want \(x \ne 8+x\) dus is er geen oplossing. Driehoeksongelijkheid bij een vierhoek Ook hier speelt de driehoeksongelijkheid. Bij de rechthoek met zijden \(2\), \(10\), \(2\), en \(10\), kunnen geen hekken aan de hoekpalen geplaatst worden die alle vier de zijden afsluiten. Zo blijkt dat de som van de lengtes van de tegenoverliggende zijden even groot moet zijn. Noem de lengtes van de vier zijden achtereenvolgens \(a\), \(b\), \(c\), en \(d\), dan geldt dat \(a+c=b+d\). Hieruit volgt tevens de driehoeksongelijkheid want de aanliggende zijden van \(a\) zijn de zijden \(b\) en \(d\). Omdat \(c>0\) geldt dat \(a<b+d\). Vijfhoek In plaats van een driehoek kan een vijfhoek onderzocht worden, of een zeshoek, of een zevenhoek. Altijd speelt de driehoeksongelijkheid. Hiernaast zie je zo een vijfhoek. Stel vast dat voldaan wordt aan de driehoeksongelijkheid en bereken de lengtes van de hekken. De algebra kan nog compacter geschreven worden zonder al die tussenliggende punten te benoemen. Noem \(A=x\) de lengte van het hek bij paal \(A\), dan \(B=10-x\) en \(C=12-(10-x)=2+x)\) en \(D=8-(2+x)=6-x\) en \(E=6-(6-x)=x\) zodat \(A=4-x\). Omdat \(A=x\) en \(A=4-x\) moet de vergelijking \(x=4-x\) opgelost worden en dat geeft \(x=2\). Zo kan het dus ook. Zeshoek Bij de even aantallen speelt hetzelfde probleem als bij de vierhoek. Noem bij de zeshoek de lengtes van de zes zijden achtereenvolgens \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), en \(f\), dan kun je met algebra bewijzen dat \(a+c+e=b+d+f\). Uit \(a<b+f\) volgt dan logischerwijs dat \(c+e>d\). Kortom, er valt nog heel wat te puzzelen bij het werken met haakjes. In de volgende blogs komen andere voorbeelden uit het boek van Sawyer, bijvoorbeeld het vader-draagt-kind vraagstuk. Wil je het boek Aanschouwelijke Algebra zelf lezen, biedt dan mee op de herfstveiling. Index: Wereld Wiskunde Fonds – Index Veiling: veiling.wereldwiskundefonds Actueel: Aanbod Over ons: Wereld Wiskunde Fonds Heb je boeken die je aan het Wereld Wiskunde Fonds wilt doneren, stuur dan een mailtje.
