17 augustus 2026 - Henk Hietbrink Sawyer Soort van Getallen Het Wereld Wiskunde Fonds verkoopt de leukste boeken op hun veiling. Nu loopt er een verkoop tegen vaste prijzen. In september starten we weer met een veiling. Wat dacht je van Aanschouwelijke Algebra van W.W. Sawyer? Volgende blog: Beren-Hekken Als veilingmeester kom ik soms boekjes tegen die niet de schoonheidsprijs winnen, maar wel een mooie binnenkant hebben, een mooi karakter zeg maar. Een stukgelezen pocket van Sawyer ziet er niet uit, maar verdient een tweede leven. Binnenkort verschijnt het op de veiling. Ik vind er interessante opdrachten om een les over haakjes wegwerken en schrijven met haakjes op een zinnige manier op te vrolijken. We zeggen dat een getal van het soort \(5n+3\) een getal is waarvan na deling door \(5\) de rest \(3\) is. Voor die \(n\) mag je allemaal gehele getallen invullen, geen breuken, geen wortels, etc.. Voorbeelden zijn de getallen \(3\), \(8\), \(13\), \(18\) of \(58\). Verwondering is dat deze soort getallen altijd eindigen op een \(3\) of \(8\). Dat vraagt om een uitleg. Een ander getal is van het soort \(5n+2\). Voorbeelden zijn de getallen \(-3\), \(2\), \(7\), etc.. Wat zou er gebeuren als je alle getallen van deze twee soorten met elkaar vermenigvuldigt? Vermenigvuldig bijvoorbeeld \(2×8=16\), \(2×13=26\), \(7×58=406\). Zouden de uitkomsten ook een soort van getallen zijn? Zo ja, van welk soort getal. Een aantal voorbeelden wekken de indruk dat de rest na deling door \(5\) altijd \(1\) is. Dan gaat het dus om de getallen van het soort \(5n+1\). Toon aan dat de rest inderdaad altijd \(1\) is. Zo toon je wel aan dat je een aantal getallen krijgt van het soort \(5n+1\), maar niet dat je alle getallen van deze soort krijgt. Niet iedere leerling begrijpt deze nuancering, maar het gaat om dat “als a dan b” niet hetzelfde is als “als b dan a”. Toon nu dat de vermenigvuldiging van de getallen van het soort \(5n+3\) en \(5n+2\) alle getallen van het soort \(5n+1\) oplevert. Belangrijke stap is dat leerlingen begrijpen dat er sprake is van verschillende \(n\), bijvoorbeeld van een variabele \(m\) en een variabele \(n\), dat het beter is om te spreken is van \(5m+3\) en \(5n+2\). De uitwerking wordt dan \((5m+3)(5n+2)\)\(=25mn+10m+15n+6\)\(=25mn+10m+15n+5+1\). Zodat na deling door \(5\) de rest inderdaad \(1\) is. Wanneer systematisch verschillende getallen van \(m\) en \(n\) ingevuld worden, zal ontdekt worden dat verschillende getallen ontbreken, bijvoorbeeld de uitkomsten \(1\) of \(11\). Een formeel bewijs met algebra is voor de meeste leerlingen te hoog gegrepen, maar wel kunnen ze samen een aantal rijen en kolommen uitrekenen en beredeneren hoe de tabel zich verder uitstrekt. Die getallen \(1\) of \(11\) komen echt niet tevoorschijn bij grotere \(m\) of \(n\). Ze zullen wel de getallen van het soorten \(6+10n\) en \(6+15n\) ontdekken, maar de tussenliggende getallen \(1\), \(11\), \(31\), \(41\), \(61\), \(71\) ontbreken. De vermenigvuldiging geeft dus wel veel getallen met rest \(1\), maar niet alle getallen met rest \(1\). Kortom “als dan b” is niet hetzelfde als “als b dan a”. Aan het einde van de les hebben is veel gerekend met haakjes en ook hebben ze kennis gemaakt met redeneren. Je kan het hier bij laten, maar wellicht zijn er leerlingen die meer willen onderzoeken aan andere soorten van getallen. Getallen van het soort \(7n+1\) geven na deling door \(7\) als rest \(1\). Deze getallen kan je vermenigvuldigen met zichzelf of met een ander getal van deze soort. Kun je bewijzen dat de uitkomst na deling altijd rest \(1\) geeft? Zou het resultaat van rest \(1\) na vermenigvuldigen met zichzelf ook optreden bij andere soorten van getallen, bijvoorbeeld \(11n+1\), \(12n+1\), \(13n+1\) of \(14n+1\), etc.? Sommige soorten van getallen zijn altijd even, ander altijd oneven. Onderzoek welke soorten van getallen altijd even zijn. En welke altijd oneven. Bij getallen van het soort \(an+b\) noemen we \(a\) de factor en \(b\) de rest. Onderzoek of de optelling van verschillende soorten van getallen met dezelfde factor en opvolgende rest lijkt altijd even of oneven is. In de volgende blogs komen andere voorbeeld uit het boek van Sawyer, bijvoorbeeld het beren-hekken probleem. Wil je het boek Aanschouwelijke Algebra zelf lezen, biedt dan mee op de herfstveiling. Index: Wereld Wiskunde Fonds – Index Veiling: veiling.wereldwiskundefonds Actueel: Aanbod Over ons: Wereld Wiskunde Fonds Heb je boeken die je aan het Wereld Wiskunde Fonds wilt doneren, stuur dan een mailtje.
