Martin Gardner Mathematical Magic Show – Eerlijk een erfenis delen

Een erfenis eerlijk delen kan gevoelig liggen, zeker als de een zich al zijn hele leven achter gesteld voelt. Notarissen kunnen vertellen hoe een erfenis ontsporen kan om een paar euro. Martin Gardner kent ook zo een verhaal over een “A Fair Division“ en leert ons hoe een probleem op te lossen.

Hieronder zijn verhaal over twee broers die de veestapel van hun vader verkopen en tot de laatste dollar eerlijk willen delen. Na de verkoop zijn ze betaald in een stapel biljetten van tien dollar en een aantal losse euro’s. Om beurten pakten de broers een biljet van tien dollar. De oudste begint, maar pakt ook het laatste biljet. De jongste broer protesteert. De oudste probeert de situatie te redden en biedt aan dat de jongste alle losse dollars krijgt. Weer protesteert de jongste broer dat hij te weinig krijgt. De oudste broer lost het op door een cheque uit te schrijven. Vraag is welk bedrag er op de check moet staan als je weet dat ze voor ieder verkocht beest evenveel dollars kregen als het totaal aantal verkochte beesten.

Deze opdracht zit knap in elkaar. De logica is simpel, maar ligt niet voor de hand. Die moet je echt zoeken. Daarom is het een goed idee om systematisch het vraagstuk uit te werken door voor verschillende getallen (aantal verkochte beesten) te onderzoeken hoe de verdeling uitpakt en welk bedrag er uiteindelijk op de cheque moet staan.

Je kunt beginnen met vast te stellen dat de opbrengst een kwadraat is want voor ieder beest was de opbrengst het bedrag gelijk aan het aantal beesten Verrassend genoeg is het totale aantal beesten niet relevant, maar daar kan je pas later achter als je systematisch mogelijkheden onderzoekt. Als de veestapel slechts één, twee, of drie beesten groot is, dan is de opbrengst één, vier of negen dollar en dus bevat de opbrengst geen tientje. Pas bij zes beesten is de opbrengst 36 dollar en zijn er drie tientjes te verdelen. De jongste broer wil achttien dollar. Hij wil dus meer dan één tientje en meer dan die zes losse dollars> In dat geval moet de cheque twee dollar zijn. Zou de cheque altijd twee dollar moeten zijn? Stug de getallenlijn aflopen geeft bij 14 beesten een opbrengst van 196 dollar, een oneven aantal tientjes en weer is zes losse dollar geen eerste compensatie en moet een cheque van twee dollar uitgeschreven worden. Bij 16 beesten gebeurt het weer, bij 24 ook. Tot zover het proberen. We hebben een vermoeden, maar een getallenvoorbeeld is geen bewijs. Nu gaan we wiskunde doen. De vaardigheid van haakjes wegwerken gaat helpen om explosieve familieruzies te voorkomen. Eerst een getallenvoorbeeld om het achterliggende principe te duiden. Daarna komt de algebra. Bij 71 beesten is de opbrengst 71×71 = 5041 dollar. Dat getal 71 gaan we splitsen in hele tientjes en losse dollars. 71×71 = (70+1)-(70+1) = 70×70+2×70 + 1 = 49 100 + 14×10 + 1. De honderdtallen staan voor tien tientjes. De tig keer 100 is dus altijd een even aantal tientjes. Ook die 2 keer 70 is een even aantal tientjes. In dit geval ontstaat niet de ongewenste situatie van een oneven aantal tientjes waarbij de oudste broer één tientje extra heeft. Meer algemeen, bij ieder aantal a × 10 +1 ontstaat geen ruzie. Systematisch uitschrijven van (a×10 +2) laat zien dat er ook dan geen probleem is, idem bij (a×10+3). Pas bij (a×10+4) ontstaat het probleem, want na haakjes wegwerken, ontstaat a × 100 + a × 20 + 16. Het is die 16 die tot problemen leidt want het aantal tientjes is nu oneven. De oudste broer pakt het laatste tientje, de jongste pakt de zes losse dollars en de oudste moet met een cheque twee dollar teruggeven. Verder gaan met systematisch uitschrijven toont aan dat alleen (a×10+4) en (a×10 +6) tot een situatie leidt dat een cheque moet worden uitgeschreven. In beide gevallen volstaat een cheque van twee dollar.

Een jurist of notaris moet dit soort dingen weten. Beetje logisch nadenken, foutloos kwadrateren en haakjes wegwerken zijn daarom een essentiële vaardigheid voor het de aanstaande juristen in het CM profiel. Hopelijk krijgt je je leerlingen aan het werk met de raadsels van Martin Gardner. Zijn boeken zijn regelmatig te koop op de veiling van het Wereld Wiskunde Fonds.