Wiskunde bij de les – 29 – De stelling van Pythagoras in De Elementen van Euclides

Op zaterdag 28 september was in Utrecht het symposium over Euclides. De werkgroep Geschiedenis van de vereniging had de regie. Jan Hogendijk, Danny Beckers, Jenneke Krüger en Rainer Kaenders waren de (gast)sprekers. Jan gaf een kijkje in de oudste Nederlandse versies van De Elementen. Danny en Jenneke toonden welke onderwerpen in ons vakblad zoal de ruimte kregen. Eerst waren vooral wiskundigen en didactici aan het woord. Later kwamen steeds meer onderwerpen die docenten bezig houden aan bod. Rainer liet zien dat bij Euclides (door Eudoxus verwoord) getallen vooral een meetkundige betekenis hadden.

Bij de laatste activiteit moesten we de stelling van Pythagoras bewijzen door middel van kaartjes leggen, met definities (gele) en proposities (blauwe) uit De Elementen van Euclides, op de open plek bij elke stap van het bewijs. Er zijn natuurlijk meer dan 100 verschillende bewijzen te vinden. Maar het is mooi om het met je klas te doen op de manier zoals we denken dat Euclides het beschreef.

We kijken naar een van de oudst bekende plaatjes bij dit bewijs. Gegeven zijn vierkanten die op zijden van een rechthoekige driehoek geplaatst staan. Er wordt gewerkt met een hulplijn, parallel aan een zijde van het grote vierkant. Vervolgens worden er hulplijnen getekend waarmee je vlakdelen met gelijke oppervlakte kunt ontdekken. Bij driehoeken en vierhoeken kun je de vorm veranderen door hoekpunten met een hoogtelijn parallel aan de bijbehorende basis te verschuiven. Dan is er nog een bewijs van congruentie van twee driehoeken nodig om daarmee de oppervlakte van twee verschillende delen gelijk te praten. Hier moet je zien dat de stompe hoeken in de (gearceerde) driehoeken met de rode hulplijn gelijk zijn door optellen van 90⁰ bij een zelfde scherpe hoek die ertussen zit. Ik ga niet in detail elke stap beschrijven. Maar in de volgende plaatjes zie je hopelijk hoe het bewijs is opgebouwd. Je moet nog wel aantonen dat met de parallelle hulplijn het grote vierkant in twee rechthoeken wordt verdeeld. Op de website van de werkgroep Geschiedenis staat onder aan de webpagina linkjes naar de presentaties..

Bij mijn afscheidsoptreden van de school waar ik 40 jaar gewerkt heb liet ik een bewijs zien waarbij je de oppervlakte van de twee kleine vierkanten op een handige manier verknipt, zodat de stukken precies in de grote driehoek passen. Voor de aanwezigen verplaatste ik de gekleurde stukken karton als een aanschouwelijk bewijs. Ik veronderstelde dat de meeste aanwezigen wel de stelling van Pythagoras in hun hoofd hadden, maar geen bewijs.