9 december 2023 - Jeanne Kok Transformaties duiden met animaties Zowel op het NVvW-forum als op de Facebookpagina Leraar Wiskunde zag ik een vraag over transformaties. In examentrainingen merk ik dat leerlingen het lastig vinden en het idee hebben dat iedere functie eigen transformatieregels heeft. Als mogelijke oplossing zag ik het gebruik van animaties. Zelf gebruik ik ook animaties, bijvoorbeeld transformerenalgemeen en sinustransformeren, maar een animatie kan niet zonder toelichting. De transformaties ten opzichte van de x-as begrijpen leerlingen in het algemeen vrij vlot. Ik verwijs graag naar de sinus. Na vermenigvuldigen met 5 ten opzichte van de x-as zijn alle golven 5 keer zo groot. Dat gaat dus over verticaal uitrekken. Neem het functievoorschrift \(f(x)=sin(x)\) en \(g(x)=a + b \cdot sin(c(x-d)) \). Na vermenigvuldiging met \(b\) wordt ook bij andere functies de afstand tot de x-as \(b\) keer zo groot. Hierbij hoort \(g(x) = b \cdot f(x)\). Een verticale verschuiving brengt de evenwichtsstand omhoog of omlaag, en dus de gehele grafiek. Bij andere functies is dat vergelijkbaar. Bij iedere waarde van \(f(x)\) wordt \(a\) opgeteld om de grafiek \(a\) eenheden omhoog te schuiven. Dus de beeldgrafiek van \(f(x)\) is \(g(x) = f(x) + a\). Maar dan de transformaties ten opzichte van de y-as. Waarom moet een leerling nu aftrekken en delen in plaats van optellen en vermenigvuldigen? Voor leerlingen is dat goed te begrijpen als zij aan snelheid denken. Wanneer iets drie keer zo langzaam gaat, wordt de grafiek met \(3\) ten opzichte van de y-as vermenigvuldigd. Dit betekent dat op \(x\) pas gebeurt wat eerst al op \(\frac{1}{3}x\) gebeurde. Dus voor vermenigvuldiging met \(c\) ten opzichte van de x-as is het beeld van\( f(x)\) gelijk aan \(g(x) = f(\frac{1}{c} x)\). Oftewel, vervang in \(f(x)\) alle \(x\)’en door \(\frac{1}{c} x\). En als iets steeds 5 uur later gebeurt, verschuift de grafiek 5 eenheden naar rechts en heeft de grafiek op \(x\) dezelfde hoogte als eerst bij \(x − 5\). Tot slot, om de grafiek van \(f\) precies \(d\) eenheden naar links te schuiven moet \(g(x) = f(x − d)\) zijn. Als \(d\) negatief is, gaat de verschuiving de andere kant op. Vervang in \(f(x)\) alle \(x\)’en door \(x − d\). Overigens maak ik bij deze toelichting behalve van animaties ook graag gebruik van mijn handen: van links naar rechts en van boven naar beneden bij verschuiven. Bij vermenigvuldigen in de y-as benadruk ik dat de grafiek horizontaal uitgerekt of in elkaar geduwd wordt. Daarbij doe ik alsof ik accordeon speel. Bij vermenigvuldigen in de x-as laat ik op soortgelijke wijze zien dat iets groter of kleiner wordt. En uiteraard: als voor de \(b\) of de \(c\) een min staat, wordt de grafiek gespiegeld in respectievelijk de x-as en de y-as en klap ik mijn hand om. Blijft over de vraag: Wat moet een leerling eerst doen, vermenigvuldigen of verschuiven? Ik verwijs wel eens kort door de bocht naar de rekenregels: eerst vermenigvuldigen en delen en daarna pas optellen en aftrekken. Het kan ook andersom, maar dan moet een leerling wel bedenken dat hij ook de verschuiving vermenigvuldigt en daarvoor kan hij corrigeren. Met de animaties is voorgaande in beeld te brengen. Hierin zijn ook de algemene regels samengevat. Dan wordt de algemene formule \(g(x) = a + b \cdot f(\frac{1}{c} (x − d))\). In het geval van \(f(x) = sin(x)\) wordt dat \(g(x) = a + b \cdot sin(\frac{1}{c} (x − d))\). Desgewenst kunt u deze animaties gebruiken bij uw instructie en door leerlingen thuis laten bestuderen bij het huiswerk of voorbereiden van een toets met de vraag: Wat zijn de overeenkomsten en verschillen bij transformaties van verschillende functies? Dit was mijn eerste blog. Heb je ook iets met animaties gedaan en wil je daarover vertellen? Stuur dan een mail naar mij. Jeanne Kok Volgende blog: Meer dan 1000 woorden – 2 – Vlakvullingen Index: Meer dan 1000 woorden – Index
