Wiskunde bij de les – 18 – Betekenisvolle algebra (5)

Binnen een vierkant met zijden 10 wordt een (kleiner) vierkant getekend met een hoekpunt op elk van de zijden van het gegeven vierkant. Waar moet je de hoekpunten van dit kleinere vierkant kiezen zodat dit een zo klein mogelijke oppervlakte heeft? Door redeneren en inzicht in symmetrie kun je snel de oplossing zien. Op een digibord kan je snel een animatie met GeoGebra toveren die de oppervlakte in kleur laat zien of automatische de grootte berekent.

Als je de hoekpunten in gedachten over de zijden laat bewegen dan zie je een symmetrische af- en toename van de oppervlakte. De oppervlakte zal minimaal zijn als de hoekpunten precies de middens zijn van de zijden. Je kunt het probleem ook oplossen met algebra. Verschillende aanpakken zijn mogelijk. Laat daarom leerlingen eerst zelf formules opstellen. De stelling van Pythagoras leidt naar de oppervlakte van het kleine vierkant. De hoekpunten van het kleine vierkant liggen telkens \(x\) en \(10-x\) van de hoekpunten van het grote vierkant verwijderd. Noem de zijde van het kleine vierkant \(z\). Dan geldt: \(z^2 = x^2 + (10 – x)^2 = 2x^2 – 20x + 100\). Nu is \(z^2\)  juist de oppervlakte van het kleine vierkant en die is maximaal in de top van de parabool \(y=ax^2+bx+c\) als \(x =\frac{-b}{2a}\), in dit geval als \(x =\frac{20}{4}=5\).

Een andere formule haalt de vier driehoeken van het grote vierkant af: \(z^2=10^2-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot x \cdot (10-x)\). Laat vooral leerlingen aantonen dat alle formules gelijkwaardig zijn. Bovenbouw leerlingen zijn geneigd direct te gaan differentiëren en afgeleide op nul te stellen, maar om de vergelijking \(f(z)=\sqrt{ 2x^2 – 20x + 100}\) te kunnen differentiëren moet je wel de kettingregel kennen. Uiteraard kan het zonder want je mag net zo goed \(O= 2x^2 – 20x + 100\) differentiëren.

Je kunt je ook afvragen waar je de hoekpunten van het kleine vierkant moet kiezen zodat de oppervlakte bijvoorbeeld 75% van het grote vierkant is. Zou er één oplossing zijn of misschien wel twee? Dit geeft de vergelijking \(z^2= 75\) ofwel \(2x^2 – 20x + 25 = 0\) zodat \(x = 5 \pm 2,5 \sqrt{2}\). De hoekpunten  van de twee mogelijke kleine vierkanten die hieraan voldoen liggen inderdaad symmetrisch ten opzichte van het midden van de zijden op \(x=5\) van het grote vierkant.

In een rechthoekig terrein van \(30\) bij \(21\) m (of hm) moeten paden worden aangelegd die de vier hoekpunten met elkaar verbinden. Een mooi open probleem dat je aan een vijfde klas kunt voorleggen. Zet ze in groepjes van 3 of 4 bij elkaar en geef een leeg vel A4. Laat ze eerst zelf wat wegen patronen tekenen die de vier hoekpunten verbinden, en van elk de lengte berekenen.

Een mogelijkheid met een doorgaande weg langs de twee korte zijden en één lange zijde zie je hiernaast in de eerste figuur. De lengte daarvan is dan (21+30+21=72) meter. Een andere mogelijkheid is om de wegen aan te leggen over beide diagonalen. De lengte daarvan is \(2 \cdot \sqrt{30^2+1^2}\) meter, ongeveer \(73,24\) meter. Dit ziet er evenwichtiger uit maar is net iets langer dan de doorgaande weg.

Een korter wegenpatroon lijkt er een met een kleine weg in het midden die aan elk van beide uiteinden met twee hoekpunten wordt verbonden. Zie derde figuur.

Neem je voor de lengte van het wegje in het midden bijv. \(16\) meter, dan is de totale lengte van de vijf stukken wegen \(16+4 \sqrt{7^2+10,5^2}\). Dat is ongeveer \(66,48\) meter. Deze weg is korter dan de vorige, maar kan het nog korter?

Dan kun je overgaan op algebra. Noem je de afstand van de uiteinden van het middenwegje tot de korte zijden van het gebied \(x\) meter, dan is de lengte van het middenwegje \(30-2x\) en de vier wegen naar de hoekpunten hebben (met de stelling van Pythagoras) allen lengte \(\sqrt{x^2+10,5^2}\). De totale lengte \(L(x)\) van de vijf stukken wegen is dan \(L(x)=30-2x+4 \sqrt{x^2+10,5^2}\) .Je kunt nu met een tabel met x-waarden in de buurt van \(x=7\) vinden dat voor \( x \approx 6,1\) de totale lengte met \(66,373\) meter het kortst is.

Uiteraard kun je nu nog met differentiëren deze waarde exact gaan berekenen want \(L'(x)=-2+\frac{8x}{2 \sqrt{x^2+110,25}}\). De afgeleide \(L'(x)=0\) als \(\sqrt{x^2+110,25}=2x\), oftewel \(3x^2=110,25\), dus \(x=\frac{10,5}{\sqrt{3}}\). De exacte oplossing van de minimale lengte van het wegenpatroon is dus \(30+3 \cdot 7 \sqrt{3}\).

Merk op dat de tangens van de hoek van een verbindingswegje met de lange zijde nu \(\sqrt{3}\) is. De optimale oplossing heeft dus 4 verbindingswegjes die alle een hoek van \(60°\) maken met de lange zijden van het rechthoekige terrein.

wegen langs de rand

diagonale wegen

met een middenwegje

optimale oplossing

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 19 – 5 december nadert snel
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 17 – Betekenisvolle algebra (4)
Index: Wiskunde bij de les – Index