Zestiende-eeuwse rekenboekjes

Denk aan de late Middeleeuwen, een tijd zonder rekenmachines, zonder kladpapier (want dat was peperduur), maar met opkomende handel, een tijd waarin gerekend moest worden met allerlei munt- en maateenheden in vraagstukken over kopen, verkopen, winst, verlies, reizen, wisselen, ruilen, enzovoort. Hoe leerden de koopmanzoontjes rekenen? (De dochters telden niet mee.) Ze rekenden met rekenpenningen, schreven op een lei en stampten heel veel in hun geheugen, zelfs de tafel van 27.

In de klas was één rekenboek aanwezig. Het boek van de meester. Wat stond er in dat ‘meesterwerk’? Op 3 oktober doe ik dit boekje graag voor u open.

“Alle problemen van de meetkunde”: de hoogmoedige visie van Descartes

Descartes’ Géométrie (1637) is een meesterwerk met gebreken. Als blauwdruk voor de eenwording van meetkunde en algebra met een canonieke nieuwe notatie was het een doorslaand succes, waarvan de invloed nog steeds voortduurt. Descartes was misschien wel de grootste “luie” wiskundige aller tijden. Zijn boek staat vol fouten en weglatingen, omdat hij zo weinig geduld had voor technische details. Maar misschien was het juist zijn luiheid die hem ertoe dreef zo’n efficiënt notatiesysteem te bedenken, waardoor zoveel voorheen moeizame wiskunde triviaal eenvoudig leek.

Als filosoof van de wiskunde was Descartes al even compromisloos. Zonder enige bescheidenheid beweerde Descartes de wiskunde te hebben voltooid. Volgens hemzelf corrigeerde zijn systeem de verwarringen van de oude wiskundigen en omvatte het alle kenbare wiskunde. Zelfs zijn directe volgelingen lieten zich niet misleiden door zijn overdreven retoriek, en ze doorzagen de zelfzuchtige aannames die Descartes nodig had om zijn grootse visie te ondersteunen.

Maar het was de droom van de Géométrie die telde, niet de tekortkomingen ervan. Generaties lang waren wiskundigen óf cartesianen óf anticartesianen, of misschien wel allebei. Maar geen van beide zijn was geen optie, zo groot was de invloed van Descartes’ Géométrie.

De presentatie bevat een interactief onderdeel waarbij deelnemers geometrische instrumenten uitproberen die door Descartes en zijn volgelingen zijn uitgevonden.

“Waerdoor alles ghevonden wordt inde wis-konst, wat vindtbaer is – Noyt voor desen bekendt.”

Zoals aan de ondertitel van zijn Algebra ofte Nieuwe Stelregel al wel te zien is, was Johan Stampioen de Jonge (1610 1653) niet bepaald een bescheiden man: “Waerdoor alles ghevonden wordt inde wis-konst, wat vindtbaer is – Noyt voor desen bekendt.” Dat de inhoud van zijn boek niet eerder bekend was, is schromelijk overdreven. De Algebra beschrijft bijvoorbeeld uitgebreid het oplossen van kwadratische en derdegraads vergelijkingen, met algoritmes die neerkomen op kwadraat afsplitsen en wat wij nu de formule van Cardano noemen. Dat was zeker niet nieuw. 

Toch is het een interessant boek. Stampioen legt alles in zijn boek zeer uitgebreid uit en behandelt problemen vaak op meerdere manieren. Ook derdegraads vergelijkingen lost hij niet alleen op op Cardano’s manier, maar hij doet dat bij enkele vergelijkingen ook meetkundig: door kegelsneden met elkaar te snijden. Dat is een methode die bedacht is door Omar Khayyam (1048-1131), maar die methode was niet algemeen bekend in de tijd van Stampioen. Hoe kende hij die aanpak?

In deze presentatie bekijken we een aantal fragmenten uit de Algebra, proberen de notatie en betekenis ervan te doorgronden, en bespreken we Stampioen en zijn wiskunde in relatie tot zijn tijd.

Het meesterwerk van Leonhard Euler: de oplossing van het Bazel-probleem.

Toen Jakob Bernoulli er in 1696 nog altijd niet in geslaagd was het probleem op te lossen, gooide hij het open voor zijn collega-wiskundigen met een simpele oproep: stuur je oplossing maar naar Bazel. Bazel, in Zwitserland, was de stad waar Jakob woonde en werkte, vandaar de naam: het Bazel-probleem. Al snel kreeg het probleem Laatste-stelling-van-Fermat-allures: iedereen probeerde het, niemand kreeg het rond. En het waren geen kleine namen die zich erop stortten: Gottfried Wilhelm Leibniz, Johann Bernoulli, Daniel Bernoulli, James Stirling en Christian Goldbach — allemaal zonder succes. Tot uiteindelijk de jonge Leonhard Euler (1707-1783) in 1735 vond en kon bewijzen dat de oneindige som van de getallen \(1/n^2\) voor \(n\) van 1 tot oneindig, eindig is en gelijk aan \(\frac{\pi^2}{6}\). Daarmee was zijn naam meteen gevestigd.

 In deze lezing bekijken we hoe Euler dat klaarspeelde. Zijn aanpak was niet altijd even strikt volgens de regels, maar zijn feilloze wiskundige intuïtie bracht hem verrassend ver. En achteraf zette hij de puntjes netjes op de i: in de loop van zijn leven publiceerde hij nog een half dozijn verschillende bewijzen voor het Bazel-probleem. Ook met de sommen van \(1/n^{2k}\) \((k=2,3,4,\ldots)\) rekende hij vlot af — maar voor de oneven machten kreeg hij het niet rond. En dat is anno 2026 nog altijd zo.

 Intussen bestaan er tientallen bewijzen, en er komen er nog elk jaar bij. Maar een echt eenvoudig bewijs dat je zo in de klas uit de doeken doet? Dat blijft voorlopig buiten bereik.