Wiskunde bij de les – 41 – De Gulden Snede (3)

In een vorige blog heb ik geprobeerd uit te leggen hoe de gulden snede en het pentagram met elkaar in verband staan. Een dodecaëder is het Platonische lichaam waar de 12 zijvlakken alle regelmatige vijfhoeken zijn. Met modulaire origami kun je een frame maken van een dodecaëder.

In deze blog geef ik aan hoe je met \(12 \cdot 5 /2 = 30\) modules dit frame kunt maken. Het mooiste is als je met \(5\) kleuren elk \(6\) modules maakt.

Er zal blijken dat er een klein beetje gesmokkeld wordt met de hoek van de zijvlakken. Hieronder zie je in figuur 1 t/m 4 hoe een module wordt gevouwen uit een vierkant blaadje. Vouw het blaadje dubbel. Figuur 1. Vouw voor- en achterkant omhoog tot een zigzag. Figuur 2 en 3. Let er op dat het vouwsel nu in W-stand plat gevouwen voor je ligt. Vouw linksonder diagonaal omhoog en rechtsboven diagonaal omlaag. Zie figuur 4 en 5. Vouw de blauwe stippellijn. Zie figuur 5. Dit wordt een zijde van de dodecaëder. De omgevouwen driehoekjes moeten dadelijk in andere modules worden gevlochten. De schuine randen van de driehoekjes komen dan in andere zijden van de dodecaëder te liggen. De vraag is nu of de hoek tussen twee zijden van het twaalfvlak wel precies \(108⁰\) is.

Hieronder zie je in de figuren 6 t/m 8 een vierkant met zijde \(a\) en een rechthoek met zijden \(2a\) en \(a\). De hoek \(\alpha\) is aangegeven door een blauwe cirkelboog. In de tweede figuur zie je dat \( tan( \alpha _L ) = \frac{2a}{a} = 2\) en dat \( tan( \alpha _R) = \frac{a}{a} = 1\). Hiermee bereken je dat \(\alpha = \alpha _L + \alpha _R \approx 63,435⁰ + 45⁰ \approx 108,435⁰\). Bij het vouwen wordt er dus wat gesmokkeld met de hoeken.
   

Resultaat

Op foto 1 zie je een gevouwen module. Op foto 2 zie je vijf modules in verschillende kleuren. De modules moeten stuk voor stuk in elkaar gevlochten worden. Op foto 3 zie je twee in elkaar gestoken modules. Op foto 4 zie je drie in elkaar gestoken modules.  Het is nog een leuke uitdaging om de modules zo te kiezen dat in elk zijvlak de 5 verschillende kleuren terugkomen. Een grafisch programma kan daarbij mooi behulpzaam zijn. Ook kun je onderstaande “bol” gebruiken. Als het allemaal gelukt is zie je het frame van een dodecaëder zoals in de eerste foto te zien is.

Bankpas

Ik sluit mijn serie blogs over de gulden snede af met een leuk weetje. Van meeste (bank)pasjes die je hebt zijn de afmetingen (ongeveer) in de gulden snede verhouding. Je kunt dat verifiëren door er twee met een kwart slag draaiing tegen elkaar te leggen. Er kan door drie “hoekpunten” die je denkbeeldig maakt als je de afgeronde hoeken recht trekt, een rechte lijn getrokken worden. Noem de korte zijde van een pasje \(1\), en een lange zijde \(p\). Dan is met gelijkvormige driehoeken de volgende vergelijking op te stellen: lange zijde : korte zijde  \(= p : 1 = (p+1) : p\). Dit leidt tot \(p \cdot p = (p+1) \cdot 1\) ofwel \( p^2 – p – 1 = 0\). Dit is precies de vergelijking waarbij de gulden snede \(p =\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5} \) een oplossing is.

Ik hoop dat je zelf ook een leuke ervaring gaat beleven met de gulden snede en/of het pentagram in je les. Reacties zijn altijd welkom. Stuur dan een mail met foto’s naar Rob van Oord.

Rob van Oord

Over het construeren van een regelmatige vijfhoek in een gegeven cirkel schreef ik al in Euclides 96-6 (mei 2021). Zie PDF. In dat zelfde nummer schreef Andrea Lubberdink Een eerste les aan de brugklas: Kennismaken met wiskunde aan de hand van het pentagram. Even verderop schrijft Henk Hietbrink over vijfhoekige vestingen en Jacques Jansen over dodecaëders in zijn bijdrage over om- en ingeschreven bollen. Eindredacteur Tom Goris noemde deze Euclides een ‘regelmatige vijfhoek special’. Zie PDF.

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 42 –
Meer over vijfhoeken uit een 3D printer: Dodecaëder uit een 3D printer
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 39 – De Gulden Snede (2)
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 38 – De Gulden Snede (1)
Nog een blog: Wiskunde bij de les – 21 – Kerstster
Index: Wiskunde bij de les – Index