Wiskunde bij de les – 39 – De Gulden Snede (2)

Er is een eenvoudige manier om een pentagram, een regelmatige vijfhoek, te maken. Neem een strook papier. Leg er een knoop in. Trek de knoop langzaam strak net zo lang totdat hij plat is. Er ontstaat met de randen van de strook een mooi pentagram. Je ziet meteen ook al hoe een diagonaal door een tussendoor gevouwen strook verdeeld wordt in twee stukken (met de gulden snede  verhouding). Zie foto.
Op Pinterest staat een aardige video waarin je kunt zien hoe je die knoop legt.

Dat roept een paar vragen op:

1. Kun je zelf een bewijs vinden dat de vijfhoek van de knoop precies een regelmatige vijfhoek is?
2. Als je een hele lange strook neemt dan kun je een serie knopen achter elkaar maken.
   Kun je met al die vijfhoeken achter elkaar een dodecaëder maken?
3. Hoe zou jij door je leerlingen een regelmatige vijfhoek laten tekenen?
4. Met de vijfpuntster erin, en dan daar weer een in, enz. kun je met kleuren mooie figuren tekenen.
   Wie maakt de mooiste tekening?

Congruentie en Gelijkvormigheid

Hierdoor ontstaan er allerlei congruente en gelijkvormige driehoeken. Bijvoorbeeld de twee kleine scherphoekige driehoekjes zijn congruent \(HZH\), en de blauwe en de paarse driehoek zijn gelijkvormig \(hh\).
Voor de resp. zijden geldt dan de constante verhouding van grootste zijde \(:\) kleinste zijde. Noem de lengte van een diagonaal \(d\), van een zijde van de vijfhoek \(z\), en het kleinste deel van een diagonaal waarin hij door een andere diagonaal gedeeld wordt \(k\). De lengte van het grootste deel is ook \(z\). Er geldt dan \(d : z = z : k\) en \(d = z + k\). Invullen voor \(d\) geeft dan \(\frac{z+k}{z} = \frac{z}{k}\) , ofwel \(\frac{1 + k}{z} = \frac{z}{k}\). Noem \(\frac{z}{k} = f\), vermenigvuldig alles links en rechts van het \(=\) -teken met \(f\), dan staat er \(f + 1 = f^2\).

Bewijs

Om een regelmatige vijfhoek te kunnen construeren moeten we weer teruggaan naar de constructies in de vorige blog. Eerst de gulden snede verhouding construeren en dan een gelijkbenige driehoek met twee even lange grotere zijden en een kleinere, in de gulden snede verhouding. Begin met lijnstuk \(AC\), met \(AC = 2\), een diagonaal van het pentagram. Verdeel \(AC\) in twee stukken \(AG\) en \(GC\) met de gulden verhouding zoals in blog 38 beschreven.

Dus \(AG = \sqrt{5} – 1\) en \(GC = 3  – \sqrt{5}\). Hierin is  \(\frac{AG}{GC}= \phi = \frac{1}{2} \sqrt{5}+\frac{1}{2} \). Teken in de constructie het snijpunt \(B\) van de middelloodlijn \(MB\) van \(AC\) en cirkel(\(A\),\(\sqrt{5}-1\). Zie de eerste figuur.

\(AB\) en \(BC\) zijn nu al twee zijden van de regelmatige vijfhoek. Teken het snijpunt \(H\) van cirkel (\(M\),\(MG\)) met lijn \(AM\). Het snijpunt \(D\) van lijn \(BG\) met cirkel (\(C\),\(CB\)) en het snijpunt \(E\) van lijn \(BH\) en cirkel(\(A\),\(AB\)) zijn de overige hoekpunten van het pentagram. Zie de tweede figuur. In deze figuur zijn de zijden van het pentagram blauw getekend. Door de cirkels zijn de zijden \(AB\), \(BC\), \(CD\) en \(EA\) al even groot, nl. \(\sqrt{5} -1\). Nu nog aantonen dat ook zijde \(DE\) dezelfde lengte heeft.

We willen dat bij deze constructie de zijden van \( \Delta BGH\) de gulden snede verhouding hebben. Daarmee hebben de zijden van \( \Delta BDE\), gelijkvormig met \( \Delta BGH\), ook die verhouding, bijgevolg is \(DE = AG = AB\), dus zijn alle zijden van vijfhoek \(ABCDE\) gelijk. We moeten dus aantonen dat \(BG = BH = AH = GC = AC – AG\) \(= 2 – (\sqrt{5} – 1) =\) \(3 – \sqrt{5} \). Achtereenvolgens \(AC = 2\), \(AG = \sqrt{5} – 1\),  \(CG = 2 – AG = 3 – \sqrt{5}\) en dan \(HM = GM = MC – GC \) \(= 1 – (3 – \sqrt{5}) = \sqrt{5} – 2\). Met de stelling van Pythagoras in \( \Delta ABM\) geldt: \(BM^2 = AB^2 – AM^2 \) \(= ( \sqrt{5} – 1)^2 – 1^2= 5 –2 \sqrt{5}  + 1 – 1 \) \(= 5 – 2\sqrt{5}\) en in \( \Delta HBM\) geldt: \(BH^2= HM^2+ BM^2= \) \( (\sqrt{5} – 2)^2+ 5 – 2 \sqrt{5} = 5 – 4 \sqrt{5}  + 4 + 5 – 2 \sqrt{5} = 14 – 6 \sqrt{5} \).

De vraag is of \(BH = 3 – \sqrt{5}\), of anders gezegd of \(BH^2= 14 – 6 \sqrt{5}\). Welnu \(3 – \sqrt{5})^2= 9 – 6 \sqrt{5} + 5 = 14 – 6 \sqrt{5}\). Hoera!

Ik hoop dat je zelf ook een leuke ervaring gaat beleven met de gulden snede en/of het pentagram in je les. Reacties zijn altijd welkom. Stuur dan een mail met foto’s naar Rob van Oord.

Rob van Oord