Wiskunde bij de les – 38 – De Gulden Snede (1)

Ergens op een lijnstuk \(AB\) kun je een punt \(P\) vinden dat het lijnstuk verdeelt in twee stukken \(AP\) en \(BP\) die onderling dezelfde verhouding hebben als het hele lijnstuk \(AB\) tot het grootste stuk \(AP\). Kort gezegd: \(AP : PB = AB : AP\). Noem die verhouding \(phi\) met de griekse letter \( \phi \). Stel \(PB = 1\), dan geldt dus \(AP =\phi\). Hier uit kun je afleiden dat die verhouding ongeveer \(1,618 : 1\) is. Dat is de zogenoemde gulden snede verhouding.

Exact

De waarde kun je ook exact uitrekenen. Noem \(AP = x\), dan is \(x : 1 = (x + 1) : x \), met breuken is dit \(\frac{x}{1} = \frac{x+1}{x}\). Dit geeft de vergelijking \(x^2 = x + 1\). De positieve oplossing van de vergelijking \(x^2 – x – 1 = 0\) is \(x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5} \approx 1,618\). Dus geldt dat \(\phi + 1 = \phi^2\). Conclusie: \(AP = \phi\) en \(AB = \phi + 1\).

Vergrotingsfactor

Nu gaan we een vergrotingsfactor onderzoeken. Wat is \(\phi \cdot AP\) ? Omdat \(AP=\phi\) is \(\phi \cdot AP = \phi \cdot \phi =\phi ^2\). Gegeven dat \(AP:PB=\phi:1\) en \(AP:PB=AB:AP\) daarom is \(AB:AP=\phi^2:\phi \). Hieruit volgt dat \(\phi \cdot AP=AB\) en \(AP=\phi \cdot PB\). Dat geeft \(AB=\phi \cdot AP = \phi^2 \cdot PB\). Kortom, dezelfde vergrotingsfactor.

Constructie

Er zijn verschillende manieren om \(\phi\) te construeren.
Eerst laat ik zien hoe je op een gegeven lijnstuk \(AB\) een punt \(P\) kunt construeren dat het lijnstuk verdeeld in de gulden snede verhouding. In dit geval \(AP : PB = \phi \). Uitgaande van lijnstuk \(AB\) gaat dat als volgt:
Teken in \(B\) een lijnstuk \(BC\) met lengte \(\frac{1}{2} AB\), loodrecht op \(AB\). Teken driehoek \(ABC\). Teken cirkel \((C,CB)\). Punt \(Q\) is het snijpunt van deze cirkel met zijde \(AC\). Teken cirkel \((A,AQ)\). Het snijpunt van deze cirkel met AB levert het gevraagde punt \(P\).

Stel \(AB = 2\), dan is \(BC = 1\) en \(AC = \sqrt{5}\). Bijgevolg is \(AQ = \sqrt{5} – 1\) en is \(AP = 2 – (\sqrt{5} – 1) = 3 – \sqrt{5}\). De vraag is nu of \(AP = \phi \cdot PB\), ofwel is de verhouding \(AP : PB = \phi = \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{5}\). Welnu, \(AP : PB = (\sqrt{5} – 1) : (2 – (\sqrt{5}-1)) = \frac{\sqrt{5}-1)}{(3-\sqrt{5}}\) . Met de worteltruc, teller en noemer keer \( (3+\sqrt{5})\) doen, geeft
\( AP : PB = \frac{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{2+2\sqrt{5}}{9-5} = \frac{2+2 \sqrt{5}}{4} =\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5} \) . Toch mooi die algebra.
Op zich is de gulden snede verhouding makkelijk te construeren met behulp van een rechthoek van \(2\) bij \(1\) en diagonaal \( \sqrt{5}\). Nu laat ik zien hoe je een lijnstuk \(AB\) construeert met daarop een punt \(P\) dat het lijnstuk verdeelt in de gulden snede verhouding. Cirkel \(\frac{1}{2}\sqrt{5}\) om aan de ene kant naar \(A\) van het middelpunt \(M\) van de rechthoek, en \(1\) aan de andere kant naar \(B\) naar de lijn die de rechthoek loodrecht doormidden deelt. Zie de figuur.

Nu wordt het lijnstuk \(AB\) door punt \(P\) verdeeld in de gulden verhouding. Op deze manier heb je natuurlijk niet een bestaand lijnstuk verdeeld in de gulden snede verhouding.

Gulden Rechthoek

Je kunt nu wel een gulden rechthoek construeren bij elke willekeurige kleinste zijde \(z\). D.w.z. dat de verhouding van de grootste zijde van die rechthoek tot de kleinste zijde gelijk is aan \(\phi : 1\), ofwel de lengte van de grootste zijde is \(\phi \cdot z\). De rode rechthoek \(QRPA\) is een gulden rechthoek, immers \(QR : RP = ( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}) : 1\). Zie de figuur.

Via de (rode) diagonaal in die gulden rechthoek kun je vervolgens een gulden rechthoek verkrijgen met de gewenste grootte, bijvoorbeeld van de verticale kleinste zijde z. Verplaats dat lijnstuk \(z\) horizontaal tot de bovenkant \(W\) ervan op het verlengde van de diagonaal \(QP\) van de getekende gulden rechthoek \(QRPA\) ligt. Rechthoek \(QVWS\) is dan de gevraagde rechthoek. Zie de figuur.

Een mooie eigenschap van een gulden rechthoek \(QVWS\) is dat de rechthoek \(QYXS\) die overblijft als je van de rechthoek aan een kant een vierkant \(VWXY\) met zijde gelijk aan de kortste zijde \(z\) van de rechthoek afhaalt, zelf ook weer een gulden rechthoek is.

Immers, \(QV = \phi \cdot z\), \(QY = \phi \cdot z – z = z \cdot (\phi – 1)\); \(QS : QY = z : z \cdot (\phi – 1) = \frac{1}{\phi -1} = \frac{\phi^2-\phi}{\phi-1} = \frac{\phi (\phi-1)}{\phi-1} = \phi \), want eerder zagen we dat \(\phi + 1 = \phi^2\) , dus ook \(1 = \phi^2 – \phi \).

Als je telkens op deze manier een vierkant afhaalt van de overgebleven rechthoek dan ontstaat er een spiraal.

Er is nog een andere manier om de gulden snede verhouding te krijgen. De zijden van een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 36⁰ hebben de gulden snede verhouding. Die driehoeken kom je tegen in een pentagraam waarin diagonalen getekend worden. Daarover vertel ik in een volgende blog.

Heb je zelf met een klas iets met de gulden snede gedaan? Stuur dan een mail met foto’s naar Rob van Oord

Veel plezier met de gulden snede.

Rob van Oord

Volgende blog: Wiskunde bij de les – 41 – De Gulden Snede (3)
Volgende blog: Wiskunde bij de les – 39 – De Gulden Snede (3)
Meer over phi: Proportionaalpasser uit een 3D printer
Vorige blog: Wiskunde bij de les – 37 – De parabool (6)
Een parabool tekenen met een potlood en een touwtje
Index: Wiskunde bij de les – Index